[물실2] 실험04 - 로렌츠의 힘
1. 서론
1.1 실험 목적
로렌츠의 힘이란, 전하를 띈 물체가 전자기장 속에서 받는 힘을 의미한다. 일반적으로 로렌츠 힘이라 부르는 것은 자기장에 의한 힘, 즉 자기력을 의미하며, 이는 전하량과 자기장의 세기, 전하의 속력에 비례하는 값이다. 또한 전하가 이동하게 되면 자기장을 만들게 되는데 이를 통해 원형 고리나 원형 고리를 여럿 겹쳐놓은 솔레노이드에 전류를 흘려보내면 비교적 균일한 방향과 크기의 자기장을 얻을 수 있다. 본 실험에서는 솔레노이드에 직류 전류를 가해 얻어낸 자기장 속에 도선 고리를 넣었을 때 받는 전기력을 천칭의 형태로 토크 평형을 이용하여 알아볼 것이다. 이를 통해 로렌츠의 힘이 어떠한 조건들에 의해 결정되는지를 확인할 수 있을 것이다.
1.2 이론적 배경
1.2.1 비오-사바르 법칙
비오-사바르 법칙(Biot-Savart Law)란, 전자기학에서 미소 도선을 흐르는 전류가 특정 위치에 생성하는 자기장을 설명하는 법칙이다. 이 법칙은 자기장의 방향이 전류와는 수직이며 거리의 제곱에 반비례한다는 사실을 알려주고 있다. 미소 길이 dl의 전선을 따라 전류 I가 흐를 때 위치 벡터 $\vec{r}$에서의 자기장 dB를 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[dB\left(r\right)= \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{Idl\times \bar{r}}{r^{2}}\tag{1}\]특정 위치에서 유한한 길이의 도선이 만드는 총 자기장을 알고 싶다면, 식 (1)의 양변을 적분하여 구할 수 있다.
[그림 1] 전류고리에서의 비오-사바르 법칙
단일 전류고리가 만드는 자기장을 구하기 위해 [그림 1]의 상황에서 비오-사바르 법칙을 적용하여 적분할 수 있다. 전류 고리에서는 수평 방향의 자기장 성분들이 모두 상쇄되어 수직 방향의 자기장만을 모두 더하여 주면 된다.
\[\int dB_{||}= \int \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{Idl\times \bar{r}}{r^{2}}\cos \alpha\tag{2}\]식 (2)를 정리하여 고리로부터 수직 방향으로 z만큼 떨어진 위치에서의 자기장의 크기를 알 수 있다. 이는 다음과 같다.
\[B_{z}= \frac{\mu_{0}i R^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\tag{3}\]1.2.2 솔레노이드
솔레노이드는 도선을 나선형으로 말아놓은 것으로, 전류의 흐름에 의해 생기는 방사형의 자기장이 한쪽으로 방향성을 가지도록 만들어둔 장치이다.
[그림 2] 솔레노이드의 구조와 자기장의 형성
일반적으로 솔레노이드에 대해 앞서 세운 식 (3)을 각 고리로부터 특정 위치까지 떨어진 거리 z를 바꾸어 가며 식 (3)을 다시 적분해주면 되며, 이는 다음과 같다.
\[\begin{aligned} B=\mu_{0}i_{sol}ncos\theta_{c} \\ \cos \theta_{c}=\frac{L/2}{\sqrt{r^{2}+(L/2)^{2}}} \end{aligned}\tag{4}\]이 때 n은 단위 길이당 감은 수이며, $\theta_{c}$는 솔레노이드의 가로와 세로 길이의 비율을 tan$theta_{c}$라 하였을 때의 각도이다.
1.2.3 로렌츠 힘
자기장 속에서 전류가 흐르는 직선 도선에 대해 이 도선이 받는 자기력의 크기와 방향은 아래 그림과 같다.
[그림 3] 자기장 속 전류가 흐르는 도선의 자기력
전류 i가 흐르는 직선 도선이 자기장 $\vec{B}$를 받고 있다면, 이 직선도선의 길이 L인 부분이 받는 자기력의 크기는,
\[\vec{F}=i\vec{L}\times \vec{B}\tag{5}\]이 때 전류가 흐르는 방향은 L의 방향과 동일하며, 전류가 흐르는 방향과 자기장의 방향을 외적한 방향으로 힘이 작용하게 된다. 전류와 자기장의 방향과 각각 수직인 방향으로 힘의 방향이 결정된다는 성질을 이용하여, 균일한 자기장 하에 I의 전류가 흐르는 전류 고리를 생각해볼 경우 고리의 중심을 축으로 토크를 받는다는 사실을 추론할 수 있다.
[그림 4] 균일 자기장 속 전류고리가 받는 힘
1.2.4 전류 천칭의 원리
본 실험에서 사용되는 전류 천칭은 얇은 기판 위에 구리막을 입혀 도선 고리가 생기도록 만든 것으로, 자기력에 의한 토크와 중력에 의한 토크가 평형을 이루게 하는 것이다.
[그림 5] 전류 천칭 단면도
전류 천칭의 두께를 D라고 하고, 균일한 질량 분포를 가지는 경우로 가정하자. 천칭의 질량을 M, 축의 반지름을 r, 중력가속도를 g라 하면, 복원 토크의 크기는,
\[\tau_{res}= Mg(r+\frac{D}{2})\sin \theta\tag{6}\]와 같으며, 균일한 외부 자기장의 세기를 B라 하였을 때 [그림 4]와 같은 형태의 감은 수가 N인 고리가 자기력에 의해 받는 토크의 크기는,
\[\tau_{magn}=NIwdBcos\theta\tag{7}\]이 때 [그림 4]의 종이면 방향 길이가 w라고 했을 때 고리의 넓이는 wb이다. 본 실험에서 사용하는 전류고리는 가로면적 b에 해당하는 변수를 d로 두었으므로, 이후에는 b가 아닌 d를 사용하기로 한다. 식 (7)을 통해 토크의 크기는 전류고리의 면적과 전류의 크기, 자기장과 전류고리 면의 법선벡터가 이루는 각에 cos을 취한 값을 곱하여 구할 수 있다는 사실을 알 수 있다.
식 (4)로부터 유도되는 솔레노이드의 자기장 식 (7)에 대입하여 솔레노이드 속 전류고리의 토크를 표현할 수 있다.
\[\begin{aligned} \tau_{magn}=\frac{N\mu_{0}i_{sol}Iwdn}{\sqrt{1+4(R/l)^{2}}}\cos \theta \\ 식과 식 (5)의 연립을 통해 전류 천칭에서의 토크평형을 표현할 수 있다. 또한 전류 천칭이 기울어지며 올라간 높이 \Delta y를 통해 \theta의 크기 또한 arctan을 통해 구할 수 있다.\tag{6} \end{aligned}\tag{8}\]2. 실험 내용
2.1 실험 장비
솔레노이드 (감은 수 550회), 직류 이중 전원장치, 악어 집게가 달린 전선(4개), 전류 천칭, 버니어 캘리퍼스
2.2 실험 방법
2.2.1 실험 장치 셋팅
- 전류 천칭 실험장치의 바닥면에 그려진 배선도를 참고하여 도선을 연결한다. (전원 장치의 전원 단자가 P1, P2의 2개이므로 P1을 솔레노이드에, P2를 전류 천칭의 전류고리에 연결시켜 준다.)
- 솔레노이드와 전류 천칭의 전류고리를 모두 동일한 접지선에 연결해준다.
- P1 혹은 P2를 선택한 후 전원장치의 전압 다이얼을 돌려 인가되는 전류의 세기를 조절한다. 전압이 커지면 전류도 덩달아 세게 흐르므로, 전압을 이용하여 전류를 조절할 수 있다.
- 천칭 회로의 전류 방향을 반대로 인가시켜 실험을 반복하고, 천칭의 3cm 위치에 0.21g의 나사를 추가하여 1) ~ 4)를 반복한다.
2.2.2 실험 데이터 계산 방법
먼저 전류 천칭이 정적 평형을 이룬다는 가정하에 식 (6)과 식 (8)의 토크의 크기는 동일하다. 단, 전류천칭의 전류고리 자체 두께인 D의 경우 매우 얇아 이를 무시할 수 있으므로, 이를 제외하고 등식으로 표현하였다.
\[Mgrsin\theta=\frac{N\mu_{0}i_{sol}Iwdn}{\sqrt{1+4(R/l)^{2}}}\cos \theta\tag{9}\]또한, 전류 천칭이 지면과 이루는 각도의 tan값은 전류천칭의 가로 길이 L와 전류천칭의 변위 Δy의 비율과 같다. 이를 적용하면,
\[\begin{aligned} Mgr\frac{\Delta y}{L} =\frac{N\mu_{0}i_{sol}Iwdn}{\sqrt{1+4(R/l)^{2}}} \\ 또한, 각도 \theta가 충분히 작을 때 \sin \theta⋍\tan \theta이며 \cos \theta⋍1 이므로, 식의 값을 토크의 크기로 봐도 무방하다.\tag{10} \end{aligned}\tag{10}\]위 식을 적용하여 전류 천칭과 솔레노이드에 흐르는 전류측정값에 의한 이론적인 토크와 실제 기울어진 정도인 식 (10)의 좌변을 비교하여 자기장에 의한 힘을 정량적으로 측정할 것이다. 한편, 실험에서 이용된 물리량의 값들은 다음과 같다.
| 물리량 | w[cm] | d[cm] | L[cm] | R[cm] | $l$[cm] |
|---|---|---|---|---|---|
| 값 | 2.9 | 11.8 | 10 | 4.15 | 12 |
| 물리량 | M[g] | r[cm] | N | n(sol) | $I_{sol}$[A] |
| 값 | 20 | 0.75 | 6 | 550 | 1 |
undefined [표 1] 각종 물리량들의 값
식 (9)에 [표 1]에서 제시된 값을 대입하여 정리한 결과는 다음과 같다.
\[0.0147\Delta y =1.118\times 10^{-4} I\tag{11}\]또한, 실험 중 중심점으로부터 3cm 위치에 0.21g의 나사를 추가한 경우가 존재하는데, 이 경우 식은 다음과 같이 바뀐다.
\[0.0153\Delta y =1.118\times 10^{-4} I\tag{12}\]2.2.3 실험 Case number에 따른 상황
실험 1, 2 : 솔레노이드에 1.01A 인가, 정방향으로
전류천칭에 전류 인가
실험 3 : 솔레노이드에 1.A 인가, 역방향으로
전류천칭에 전류 인가
실험 4 : 솔레노이드에 1A 인가, 정방향으로
전류천칭에 전류 인가
3cm 위치에 0.21g 나사 추가
실험 5 : 솔레노이드에 1A 인가, 역방향으로
전류천칭에 전류 인가
3cm 위치에 0.21g 나사 추가
2.3 실험 결과 및 분석
2.3.1 나사를 추가하지 않은 경우 - 정방향
먼저, 솔레노이드에 동일 방향으로 1A의 전류를 흘려준 경우이다. 전류 천칭에 흘려 준 전류의 크기에 따른 y축 변위값과 각각의 데이터들을 대입하여 구한 토크를 표로 정리하였다.
| I | ||||
|---|---|---|---|---|
| [A] | $\Delta y$ | |||
| (cm) | $\tau_{res}$ | |||
| [Nm] | $\tau_{magn}$ | |||
| [Nm] | 오차율 | |||
| (%) | ||||
| 0.477 | 0.8 | $1.176\times 10^{-4}$ | $0.533\times 10^{-4}$ | -54.6 |
| 0.65 | 0.6 | $0.882\times 10^{-4}$ | $0.727\times 10^{-4}$ | -17.6 |
| 0.93 | 1 | $1.470\times 10^{-4}$ | $1.040\times 10^{-4}$ | -29.3 |
| 1.15 | 1.5 | $2.205\times 10^{-4}$ | $1.286\times 10^{-4}$ | -41.7 |
undefined [표 2] 표로 정리된 토크의 크기 비교 (실험 1)
먼저, 식 (11)을 적용하여 구한 중력에 의한 복원 토크의 크기와 자기력에 의한 토크를 [표 2]로 나타내어 보았다. 자기력에 의한 토크가 측정값, 중력에 의한 복원력 토크(더 직관적으로 측정되었으므로)을 참값으로 볼 때 이에 대한 자기력 토크의 오차율은 [표 2]의 오차율 열을 통해 알 수 있다. 자기력에 의한 토크의 크기가 중력으로 계산된 토크의 크기보다 작게 나오기는 하지만, 전류를 더 세게 인가하였을 때 y축 변위의 값이 어느정도 전류와 비례함을 알 수 있다.
| I | ||||
|---|---|---|---|---|
| [A] | $\Delta y$ | |||
| (cm) | $\tau_{res}$ | |||
| [Nm] | $\tau_{magn}$ | |||
| [Nm] | 오차율 | |||
| (%) | ||||
| 0.56 | 0.9 | $1.323\times 10^{-4}$ | $0.626\times 10^{-4}$ | -52.7 |
| 0.76 | 1.6 | $2.352\times 10^{-4}$ | $0.850\times 10^{-4}$ | -63.9 |
| 0.92 | 2 | $2.940\times 10^{-4}$ | $1.029\times 10^{-4}$ | -65.0 |
undefined [표 3] 표로 정리된 토크의 크기 비교 (실험 2)
[그림 6] 천칭의 전류에 따른 토크
오차율을 구할 때와는 반대로, 측정된 전류를 바탕으로 계산된 자기력 토크를 기준으로 중력에 의한 복원력 토크를 [그림 6]으로 시각화 하였다. 본 실험의 목적, 즉 측정된 전류값과 전류 천칭의 기울기에 해당하는 y축 변위 $\Delta y$의 비례관계를 보는 것이 목적이므로, 전류의 크기에 대한 $\Delta y$, 즉 복원 토크를 분석하였다. 이를 통해 실제 가해준 자기력 토크보다 더 크게 복원 토크가 측정되었음을 알 수 있으며, 이는 복원토크의 팔이 더 길게 측정되었거나, 원래의 값보다 더 큰 값이 대입 등의 이유를 들 수 있다. 실험 결과를 통해 추론된 복원력 토크와 자기력 토크는 [그림 6]에서와 같이 다를 수 있으나, 실제로는 토크 평형에 의해 천칭이 평행상태에 도달한 것이므로 두 토크의 크기는 같을 수밖에 없다. 즉 오차의 요인을 크게 두가지로 나누어, 복원력 토크가 더 크게 측정된 이유와 자기력 토크가 더 작게 측정된 이유로 나누어 설명할 수 있을 것이다. 그러나 이러한 오차를 배제하고도 전류의 크기가 커질수록 $\Delta y$ 이 증가하는 추세를 확인할 수 있다. 그러나 실제로 추세선의 $R^{2}=0.3911$로, y축 변위가 전류에 대해 선형적인 증가 추세를 보인다고 말하기는 어렵다. 또한 중력에 의한 토크의 크기가 의 크기가 크게 측정되었는데, 이는 기존에 이미 기울어진 상태로 평형이 맞추어져 오차가 가중되었을 수 있다.
2.3.2 나사를 추가하지 않은 경우 – 역방향
2.3.1.의 실험과 동일하게 진행하되, 전류 천칭의 전류를 반대로 흘려보내 준 경우이다. 이 때는 전류 천칭이 반대 방향으로 기울어짐을 확인하였다.
| I | ||||
|---|---|---|---|---|
| [A] | $\Delta y$ | |||
| (cm) | $\tau_{res}$ | |||
| [Nm] | $\tau_{magn}$ | |||
| [Nm] | 오차율 | |||
| (%) | ||||
| 0.32 | 0.4 | $0.588\times 10^{-4}$ | $0.358\times 10^{-4}$ | -39.1 |
| 0.39 | 0.6 | $0.882\times 10^{-4}$ | $0.436\times 10^{-4}$ | -50.6 |
| 0.72 | 1.3 | $1.911\times 10^{-4}$ | $0.805\times 10^{-4}$ | -57.9 |
| 1.01 | 1.8 | $2.646\times 10^{-4}$ | $1.129\times 10^{-4}$ | -57.3 |
undefined [표 4] 표로 정리된 토크의 크기 비교 (실험 3)
[그림 7] 천칭의 전류에 따른 토크 (역방향)
가해준 전류의 크기에 따른 복원력 토크를 시각화하였을 때 역방향으로 전류를 흘려준 경우는 앞서 정방향으로 흘려준 경우보다 더 정확히 비례한다는 사실을 알 수 있다. 또한 추세선의 $R^{2}=0.9954$로, 전류가 커질수록 y축 변위가 따라 커지는 정도가 아닌 선형성을 가지고 비례한다는 결론을 내릴 수 있다. 동일한 방법으로 실험을 진행하고 흘려주는 전류의 방향만을 변화시켰음에도 이렇게 실험결과의 정밀성에서 차이를 보인다는 것은 전류 천칭의 구조적 문제에서 비롯되었음을 짐작할 수 있다.
2.3.3 3cm에 0.21g 나사 추가한 경우 – 정방향
전류천칭의 중심으로부터 우측 3cm에 0.21g의 나사를 추가한 경우에는, 식 (10)의 좌변, 즉 중력에 의한 복원 토크에 해당하는 값에 나사의 무게에 의한 토크 값을 추가해 주어야 한다.
\[\tau_{res}=g(Mr+M^{'}r^{'})\frac{\Delta y}{L}\tag{13}\]이를 적용하여 수정된 토크 식이 식 (12)이며, 본 실험에서 측정된 값들을 식 (12)에 대입하여 각 토크의 크기를 구하였다.
| I | |||
|---|---|---|---|
| [A] | $\Delta y$ | ||
| (cm) | $\tau_{res}$ | ||
| [Nm] | $\tau_{magn}$ | ||
| [Nm] | |||
| 0.01 | 1.9 | $2.907\times 10^{-4}$ | $1.118\times 10^{-6}$ |
| 0.07 | 2 | $3.060\times 10^{-4}$ | $7.826\times 10^{-6}$ |
| 0.24 | 2.3 | $3.519\times 10^{-4}$ | $0.268\times 10^{-4}$ |
| 0.28 | 2.4 | $3.672\times 10^{-4}$ | $0.313\times 10^{-4}$ |
undefined [표 5] 표로 정리된 토크의 크기 비교 (실험 4)
[표 5]의 결과를 보면 알 수 있지만, 매우 작은 전류를 흘려주었을 때의 복원토크와 전기력토크가 거의 100배에 가까운 차이를 보일 정도로 부정확함을 알 수 있다. 이는 후에 제시하는 오차 보정방법을 이용하여 개선하여 분석을 진행하였다. [표 5]에서는 오차율이 무의미하므로 따로 표시하지 않았다.
2.3.4 3cm에 0.21g 나사 추가한 경우 – 역방향
2.3.3.과 같은 실험 환경에서 전류 천칭에 가하는 전류의 방향만 반대로 바꾸어 실험을 진행하였다.
| I | |||
|---|---|---|---|
| [A] | $\Delta y$ | ||
| (cm) | $\tau_{res}$ | ||
| [Nm] | $\tau_{magn}$ | ||
| [Nm] | |||
| 0.17 | 1.7 | $2.601\times 10^{-4}$ | $0.190\times 10^{-4}$ |
| 0.31 | 1.5 | $2.295\times 10^{-4}$ | $0.347\times 10^{-4}$ |
| 0.57 | 1.1 | $1.683\times 10^{-4}$ | $0.637\times 10^{-4}$ |
| 0.74 | 0.6 | $0.918\times 10^{-4}$ | $0.827\times 10^{-4}$ |
| 0.8 | 0 | 0 | $0.894\times 10^{-4}$ |
| 1.27 | -0.8 | $-1.224\times 10^{-4}$ | $1.420\times 10^{-4}$ |
undefined [표 6] 표로 정리된 토크의 크기 비교 (실험 5)
본 실험에서는 전류천칭에 인가하는 전류의 크기가 커질수록 천칭의 각도가 더 작아지는 효과를 확인할 수 있다. 이는 자기력에 의한 토크가 천칭을 회전시키는 방향이 앞선 실험과 반대가 되어 나타난 결과인데, 실험 3, 즉 2.3.2에서는 이러한 결과를 얻지 못한 이유가, 전류천칭의 원점을 기준으로 y축 변화량의 절댓값을 데이터로 사용했기 때문이다. 본 실험의 경우에도 2.3.3과 같이 전류가 흐르지 않을 때 천칭이 기울어져 있으므로, 후에 오차 보정을 통한 논의에서 더 정량적으로 분석하기로 한다.
3. 실험 논의
3.1 offset을 고려한 오차의 정량적 보정
3.1.1 실험 4에서의 오차 보정
[표 5]를 보면, 전류를 0.01A만큼만 흘려 주었음에도 이미 y축 변위는 1.9cm로 이미 수평이 아니라는 사실을 알 수 있다. 이를 보정하기 위해서는 그래프의 외삽을 통해 전류를 인가하지 않았을 때의 y축 변위를 구한다음, 이를 전체 변위로부터 빼어 [그림 6], [그림 7]과 같이 전류의 크기와 변위가 정비례하도록 맞추어 주는 것이 분석에 더 용이할 것이다.
[그림 8] 복원력 토크에 대한 추세선 그래프
[그림 8]을 통해 전류의 크기에 대한 복원력 토크의 추세선을 그렸다. 높은 선형성을 보였으며, 값의 정확한 파악을 위해 토크의 크기에 10000을 곱하여 확인하였다. 이를 통해 세워진 선형 근사 식은 다음과 같다.
\[\begin{aligned} \tau_{res} =2.79\times 10^{-4} I+2.871\times 10^{-4} \\ 식를 통하여 전류고리에 전류를 인가하지 않았을 때의 복원력토크 값을 알수 있으며, 이는 실제로 복원력 토크의 값이 아니라, 실험 초기부터 천칭이 기울어져 있었기에 생긴 offset 값에 해당한다. 이를 식 (11)을 통해 역산하면, \Delta y = 1.95cm라는 값을 얻을 수 있다. 즉 [표 5]의 \Delta y에서 1.95cm를 빼어 다시 계산하여 그래프로 나타냈다.\tag{14} \end{aligned}\tag{14}\]
[그림 9] offset을 적용한 [그림 8]의 그래프
실험 초기부터 지면과 평행하지 않고 기울어져있는 전류 천칭 상태를 반영하여 그래프를 다시 그래프를 그렸을 때 복원토크가 전류 크기에 정비례한다는 사실을 확인할 수 있다.
3.1.2 실험 5에서의 오차 보정
3.1.1에서 진행한 편차의 보정방법과 동일한 방법을 사용하여 보정을 진행하였다. 단, 전류의 크기가 커질 수록 y축 변위가 작아지므로, 이를 보정하기 위해 y축 변위의 부호를 바꾸어 y=ax (a>0)의 꼴로 비례하도록 수정하였다.
[그림 10] 복원력 토크에 대한 추세선 그래프
[그림 10]을 통해 전류의 크기에 대한 복원력 토크의 추세선을 그렸으며, 이 또한 $R^{2}=0.9584$의 높은 상관계수를 보이며 선형성을 보였다. 값의 정확한 파악을 위해 토크의 크기에 10000을 곱하여 나타냈으며, 세워진 선형 근사 식은 다음과 같다.
\[\begin{aligned} \tau_{res} =3.647\times 10^{-4} I-3.392\times 10^{-4} \\ 식를 통하여 전류고리에 전류를 인가하지 않았을 때의 복원력토크 값을 알수 있으며, 이는 실제로 복원력 토크의 값이 아니라, 실험 초기부터 천칭이 기울어져 있었기에 생긴 offset 값에 해당한다. 이를 식 (13)을 통해 역산하면, \Delta y = -2.22cm라는 값을 얻을 수 있다. 즉 [표 5]의 \Delta y에서 2.22cm를 더하어 다시 계산하여 그래프로 나타냈다.\tag{14} \end{aligned}\tag{14}\]
[그림 11] offset을 적용한 [그림 10]의 그래프
보정을 통해 전류의 크기에 복원토크가 정비례함을 알 수 있다.
3.1.3 각도에 대한 근사
복원토크와 자기력 토크가 평형을 이룬다는 식 (9)에서 식 (10)으로 넘어가는 과정에서 우변의 cos 값을 좌변으로 이항하여 tan, 즉 y축 변위와 전류 천칭의 길이로 바꾸어 계산하였다. 이 때 전류천칭의 회전 각도가 작기 때문에 근사를 이용하였는데, 전류 천칭에 흐르는 전류의 크기와 y축 변위 간의 비례관계를 확인하기 위해서는 식 (10)을 그대로 사용하여도 무방하나, 식 (10)의 값을 그대로 토크라고 근사하는 것은 어느정도의 무리가 있다.
3.1.4 전류 천칭의 구조적 요인에 의한 오차
전류 천칭 실험장치는 토크를 이용하여 자기력과 중력을 비교하게 되는데, 크게는 두 가지 정도의 구조적 요인에 의한 오차가 발생한다.
-
토크 팔의 길이를 정확히 측정할 수 없는 오차가 있다.
자기력에 의한 힘이 토크의 형태로 주어지므로 토크를 이용한 돌림 천칭 형태로 힘의 크기를 측정해야 한다는 구조적 한계가 존재하나, 천칭, 즉 중력에 의한 복원력을 이용하는 과정에서 정확하게 축으로부터 추가 떨어진 위치를 확인할 수 없으며, 본 실험에서는 고려하지 않았지만, 평형 조정 등의 요인에 의한 여러 가지 사항들을 고려하였을 때 이러한 토크로 측정하는 방법은 큰 오차를 불러 일으킨다.
만약 실험을 다시 설계한다면 천칭이 아닌 실과 연결된 도르레 (물리학 실험 1의 관성 모멘트 실험 장치와 같은)를 이용하여 실험장치를 만든다면 훨씬 더 정량적이고 정확하게 토크의 크기를 확인할 수 있을 것으로 보인다.
-
토크를 구성하는 힘의 종류와 작용점, 그 값을 확인할 수 없다. 본 실험에서는 y축 변위를 이용하여 기울어진 정도로 중력에 의한 복원력 토크와 자기력 토크의 크기를 추정하였는데, 이 토크가 정확한 값을 가진다고 가정하여도 토크가 온전히 전기력에 의한, 혹은 무게추의 중력에 의한 토크인지 확인할 방법은 없다. 복원 토크와 자기력 토크 차이에 가장 기여하는 요인으로 추정되는 것은 천칭을 구성하는 판 자체에 의한 토크와 위치에 따라 달라지는 자기력에 의해 불균일한 자기력 토크, 추를 조정하는 나사에 의한 토크 등을 들 수 있다.
3.1.5 전류 크기의 진동에 관한 고찰
천칭에 전류를 가할 때 일부의 경우 전류 값이 고정되어 있지 않고 전류의 크기가 요동치며 주기적으로 진동한다는 것을 알 수 있다. 이는 전류 천칭 전체 계가 정적 평형을 이루지 못하고 진동하기 때문으로, 초기 상태에서 평형을 맞추기 위해서 전류 천칭이 기울어지고, 기울어짐에 따라 전류 천칭의 각도가 변화하며, 이에 따른 자기력 토크의 크기가 바뀌게 된다. 그렇다면 이 변화한 자기력 토크에 대하여 이를 복원하려는 토크가 반대로 작용하면서 복원력 토크의 크기 또한 달라지게 되고 이러한 과정이 일정한 주기를 이루게 되면서 진동하는 것이다. 이 과정에서 생긴 미세한 움직임은 전자기 유도에 의해 자체적으로 전류고리에 전류를 생성하기 때문에 전류의 크기가 유동한다고 설명할 수 있을 것이다. 의심해볼 수 있는 또 한가지 경우는 상호 유도에 의한 전류 크기의 변화가 있는데, 자기장을 주는 솔레노이드가 일차 코일의 역할을 하여 전류 고리, 즉 이차 코일에 자기장의 변화를 가하게 되고 이러한 자기장의 변화, 즉 전류의 변화가 계속 전달되는 진동으로 이어지는 것이다.
3.2 각 토크값의 비율 분석
3.2.1 실험 1, 2/ 3에서의 비율 분석
먼저 실험 1, 2에서의 중력에 의한 복원력 토크 대비 자기력 토크의 비율을 계산해 보았으며, 이는 정방향으로 전류를 흘려준 실험 1과 2에서 0.703, 역방향으로 전류를 흘려준 실험 2에서 0.641로 유사한 값을 보였다. 이론적으로 토크의 크기가 같아야 평형을 이루므로 계산을 통해 측정된 자기력의 크기가 원래의 그것보다 작게 계산되었다는 사실을 알 수 있으며 작게 측정된 비율은 전체의 약 30%정도라는 사실을 알 수 있다. 이는 offset(편차)가 거의 존재하지 않는 실험 1, 2에서 얻어진 결과이므로 신뢰할 수 있다.
3.2.2 실험 4, 5에서의 비율 분석
추가로 나사를 전류 천칭에 추가한 실험 4와 5에서도 같은 방식으로 분석을 진행하였는데, 이를 통해 얻어낸 토크값의 비율(자기력토크/중력토크)의 값은 실험 4에서 0.715, 실험 5에서 0.428의 값을 보였다.
전체 토크의 크기에서 자기력에 의한 토크가 차지하는 비율이 가장 작은 실험 5의 경우 역방향으로 전류가 인가되어 추가한 나사에 의한 중력 토크와 반대 방향으로 자기력 토크가 작용하여 자기력 토크 자체가 작아지는 효과가 있다고 판단된다.
4. 실험 결론
본 실험을 통해 로렌츠의 힘, 즉 자기력에 의한 토크를 전류 천칭을 이용하여 중력에 의한 복원력과 평형을 이루게 하여 y축 변위와 전류 천칭에 인가되는 전류가 비례한다는 사실을 확인하였다. 나사를 추가하지 않은 원래의 상황, 역방향으로 전류를 걸어준 상황, 전류 천칭에 나사를 추가한 상황, 앞선 상황에서 역방향으로 전류를 걸어준 상황 모두에서 천칭이 기울어진 정도를 의미하는 y축 변위가 전류 천칭에 인가된 전류의 크기와 비례한다는 사실을 정량적으로 확인할 수 있었다. 이를 통해 앞서 이론적 배경에서 세운 로렌츠 힘에 관한 식이 성립함을 확인할 수 있었다. 본 실험에서의 오차와 편차 요인을 보정하기 위해 먼저 전류를 인가하지 않은 평형 상태에서의 기울어진 정도를 보정하는 작업을 실시하였으며, sin 값의 근사, 토크 측정과 그 요인들의 부정확성 등을 오차의 주요한 요인으로 지목하였다.
5. 참고 문헌
Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014) (Korean ver.)