[물실1] 실험01 - Tracker를 이용한 뉴턴의 사과 실험과 포물선 운동 분석
1. 서론
1.1 실험 목적
본 실험은 자유낙하하는 물체의 중력가속도 측정(실험 A)과 포물선 운동하는 물체의 운동 분석(실험 B)으로, 중력장 내의 물체의 운동을 정량적으로 분석하고자 한다. 낙하하는 물체의 운동 상태의 변화에 대해 관측하고 질량 변화, 부력의 유무에 따른 변화를 확인할 것이며, 양의 각도로 던져진 물체를 분석하여 궤적이 포물선임을 이해하고, 질량, 각도를 변화시키며 초속도와 중력가속도, 반발계수를 구하고 역학적 에너지 보존 여부를 확인한다. 위 실험들을 통해 자유 낙하와 포물선 운동처럼 중력장 내에서의 물체의 운동에 어떠한 법칙이 적용되고 어떤 요인이 영향을 미치는지에 대해 알아볼 것이다.
1.2 이론적 배경
1.2.1 뉴턴의 제2법칙
물체의 운동, 방향 혹은 구조를 변화시킬 수 있는 상호작용을 가리켜 힘이라 하고, 속도 벡터를 시간에 대해 미분한 $\frac{d}{dt}\vec{v}$ 는 물체의 운동 상태의 변화를 나타내며 이를 가속도라 부른다. 물체에 가해지는 알짜 힘과 물체의 가속도는 다음과 같은 관계를 가지고, 이를 뉴턴(Newton)의 제2법칙이라 부른다.
\[\vec{F}=m\vec{a}\tag{1}\]1.2.2 중력과 만유인력
만유인력은 자연계에 존재하는 기본적인 4가지 힘 중 하나로, 질량이 $m_{1}$, $m_{2}$ 인 물체가 거리 $r$만큼 떨어져 있을 때 서로 끌어당기는 방향으로 (식 2)와 같은 힘을 받는다.
\[F=\frac{Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}\tag{2}\](식 2)의 두 물체 중 하나를 지구라 하면 $m_{1}$에 지구의 질량($M=5.98\times 10^{24}kg$), $r$에 지구의 평균 반지름($R=6370km$), 상수값 $G$($=6.67\times 10^{-11}m^{3}/s^{2}kg$)를 대입하여 다음 식을 얻을 수 있다.
\[F=mg (g=9.8m/s^{2})\tag{3}\]이 때 $g$를 지구의 중력가속도라고 하며, 위 식을 통해 지표면 근처의 물체는 지구 중심 방향으로 물체 질량에 비례하는 힘을 받는 것을 알 수 있다. 단, 고도, 중력 이상, 낙하에 따른 지구와 물체 사이의 거리 $R$의 변화는 무시한다.
1.2.3 부력과 아르키메데스의 원리
부력은 유체에 잠긴 물체에 작용하는 힘으로, 물체가 닿은 유체의 압력 P는 (식 4)와 같이 표현된다.
\[P= p_{0}+\rho gh\tag{4}\]$p_{0}$ : 대기압, h : 물체와 유체 표면의 거리
유체는 물체가 수면으로부터 떨어진 거리에 비례하는 압력을 주므로 유체의 압력을 높이 h에 따른 함수$P\left(h\right)$를 면적에 대해 적분하면 된다.
\[F_{B}= \int P\left(h\right)dA= \rho g\int hdA= \rho gV\tag{5}\]부력은 물체가 유체에 잠긴 부피, 밀도, 중력가속도에 비례하며, 중력의 반대방향으로 힘을 받는다는 사실을 (식 5)를 통해 알 수 있다.
1.2.4 2차원 포물선 운동
[그림 1] 포물선 운동의 개략도
수평 위로 $\theta$의 방향으로 $v_{0}$의 초속도로 물체를 던지면 [그림 1]과 같은 포물선 궤적을 그리며 운동한다. x축과 y축 속도와 가속도, 시간에 따른 위치 함수와 궤적에 해당하는 포물선의 방정식을 구할 수 있다. 먼저 y축 방향으로는 $v_{0}\sin \theta$의 초속도가 존재하며, 중력가속도 g를 고려해 (식 6)이 도출된다.
\[v_{y}(t)=v_{0}\sin \theta-gt\tag{6}\]시간에 따른 y축 변위는 $v_{y}(t)$를 시간에 대해 적분한 것이고, x방향은 속도 $v_{0}\cos \theta$로 등속 운동이므로
\[y(t)=\int_{0}^{t}\left(v_0\sin\theta-gx\right)\,dx=v_{0}\sin \theta\cdot t-\frac{1}{2}gt^{2}\tag{7}\] \[x(t)= v_{0}\cos \theta\cdot t\tag{8}\]이 때$x\left(t\right)$와 $y\left(t\right)$가 시간 t라는 매개변수로 표현되어 있으므로 t를 소거하여 y를 x에 대해 나타내면 다음 포물선의 방정식을 얻는다.
\[y\left(x\right)=\tan \theta x-\frac{gx^{2}}{2(v_{0}\cos \theta)^{2}}\tag{9}\]물체가 높이 $y_{i}$에 도달하는데 걸리는 시간은 $y\left(t\right)+y_{i}=0$라는 t에 관한 이차방정식을 계산하여 도달시간을 구할 수 있으며, 최대수평도달거리는 바닥에 닿는데 걸린 시간 $T$와 x축 속도 $v_{0}\cos \theta$의 곱이다.
\[T = \frac{2v_{0}\sin \theta}{g} , R_{Max}=\frac{2v_{0}^{2}\sin \theta\cos\theta}{g}\tag{10}\]이 때 최대수평도달거리 $R_{Max}$는 $\theta=45°$일 때, 초속도가 클 때, 중력가속도가 작을 때 최대가 됨을 (식 10)을 통해 알 수 있다.
2. 실험 내용
2.1 실험 장비
촬영용 카메라 1대, 분석용 컴퓨터, 1m 자(기준자 용도), 무게가 다른 공 2개, 공기와 헬륨을 채운 풍선 각 1개, 실타래와 칼, 공 발사기
[그림 2] 실험 장비의 설치 개략도
2.2 실험 방법
2.2.1 낙하하는 물체의 중력가속도 측정
1m 자를 수직하게 세운 뒤 카메라의 초점과 각도, 줌을 맞춘다. 공을 기준자와 동일 평면에서 자유낙하 시키는 것을 촬영하고 이를 수차례 반복하여 영상을 Tracker 프로그램을 통해 분석한다. 시간에 따른 y축 변위 그래프를 Excel 프로그램을 이용하여 나타낸 뒤 (식 7)에 따라 최고차항의 계수가 $-\frac{1}{2}a$인, t에 관한 이차함수 꼴로 표현된다는 것을 이용하여 추세선 기능을 이용해 이차함수를 구하고 최고차항의 계수를 이용해 중력가속도를 구한다.
2.2.2 무게에 따른 중력가속도 차이 측정
2.2.1와 동일한 실험 조건 하에서 무게가 다른 추를 이용하여 실험을 반복한다. 이후 같은 방법으로 중력가속도를 구하고 2.2.1과 비교한다.
2.2.3 부력이 작용할 때의 물체의 낙하 실험
물체 자체의 공기저항을 고려하지 않았던 2.2.1과 2.2.2와는 달리 공기저항과 부력을 고려해야 하므로 공과 실, 풍선을 같은 system 으로 보고 중력가속도를 분석해야 한다. 먼저 공기저항에 대한 대조군 공기 풍선 단 공의 운동방정식은 다음과 같다.
\[\begin{aligned} F_a &= -M'g + \rho_a Vg + F_R \\ &= -(m+\rho_a V)g + \rho_a Vg + F_R \\ &= -mg + F_R \\ &= (m+\rho_a V)a_a \end{aligned}\tag{11}\]한편 헬륨을 넣은 풍선을 단 공의 운동방정식은 다음과 같다.
\[\begin{aligned} F_{He} &= -M''g + \rho_{He}Vg + F_R \\ &= -(m+\rho_a V)g + \rho_{He}Vg + F_R \\ &= -mg + (\rho_{He}-\rho_a)Vg + F_R \\ &= (m+\rho_{He}V)a_{He} \end{aligned}\tag{12}\]$\rho_{a}, \rho_{He}$ : 공기, 헬륨의 밀도
$M^{‘}, M’’$ : 공기, 헬륨풍선과 공의 무게의 합
$V$ : 풍선의 부피 $F_{R}$ : 공기저항
$a_{a}$,$a_{He}$ : 공기, 헬륨 풍선 system의 알짜 가속도
공기저항은 속도의 제곱에 비례함이 알려져 있으므로 미분방정식을 풀어야만 정확한 해를 구할 수 있다. 그러나 헬륨 풍선과 공기 풍선의 속도 변화의 차이는 미미하므로 (식 11) - (식 12), 즉 공기저항에 관한 항을 소거하여 정리하여 다음 식을 얻을 수 있었다.
\[m(a_{He}-a_a)=V\left\{\rho_{He}(a_{He}-g)+\rho_a(a_a-g)\right\}\tag{13}\]상수값인 $\rho_{He}$,$\rho_{a}$, $g$, 실험값인 $a_{He}$, $a_{a}$을 대입하면 대략적인 풍선의 부피를 구할 수 있다. 또한, 풍선에 든 기체의 밀도가 낮을수록 공기와의 밀도 차가 커짐에 따라 더 큰 부력이 생기고, 중력가속도를 더 작게 하는 요인이 된다.
2.2.4 포물선 운동을 하는 물체의 분석
그림 2에서 공 발사기를 이용하여 발사각 30˚, 45˚, 60˚로 공을 쏘아 올린 다음, 이를 수차례 반복하여 영상을 촬영하고 Tracker 프로그램으로 분석한다. 시간에 따른 x축과 y축의 변위, 속도, 가속도를 분석하고 포물선의 궤적을 (식 9)의 이차식에 fitting하여 계수를 통해 초속도와 중력가속도를 역 추론한다.
2.2.5 질량에 따른 포물선 운동 궤적 분석
무게가 다른 공을 이용하여 2.2.4를 진행하되 무게가 다른 공을 변위, 속도, 가속도, 궤적에 어떠한 차이가 있는지를 2.2.4와 비교한다.
2.2.6 뉴턴의 사과 실험과의 비교
뉴턴의 사과 실험(2.2.1)과 동일한 방법으로 구슬을 자유낙하시켜 실험 결과를 비교한다. 이 실험에서는 특별히 역학적 에너지의 보존과 구슬과 바닥 간의 반발계수를 구하는데 초점을 맞추어 진행한다.
2.3 실험 결과 및 분석
2.3.1 낙하하는 물체의 중력가속도 측정
Tracker 프로그램을 통해 분석한 27.1g 공의 x-t 그래프이다. 총 12개의 실험결과 중 이상값으로 추정되는 최대, 최소값을 제외한 10개의 데이터를 사용하였다.
[그림 3] 27.1g 공의 x-t 그래프
| 중력가속도 평균($m/s^{2}$) | 참값과의 | ||
|---|---|---|---|
| 상대오차(%) | 표본 | ||
| 표준편차 | 결정계수 | ||
| 평균값($R^{2}$) | |||
| 10.045 | 2.43 | 0.315 | 0.99611 |
undefined [표 1] 27.1g 물체의 중력가속도 측정결과
이를 통해 10회 실험에서 중력가속도가 참값보다 조금 더 크게 측정되었으나 결정계수가 0.996인 것을 보아 이차함수의 그래프에 잘 fitting되었음을 알 수 있다.
2.3.2 무게에 따른 중력가속도 차이 측정 실험
[그림 4] 무게에 따른 x-t 그래프 비교
| 실험 | 중력가속도 | ||
|---|---|---|---|
| 평균($m/s^{2}$) | 참값과의 | ||
| 상대오차(%) | 표본 | ||
| 표준편차 | |||
| 공 1 (27.1g) | 10.045 | 2.43 | 0.315 |
| 공 2 (51.8g) | 10.404 | 6.09 | 0.502 |
undefined [표 2] 무게에 따른 중력가속도 차이 비교
51.8g 공의 자유낙하 실험에서는 기존의 10회 시행보다 많은 15번의 시행에도 불구하고 표준편차가 크게 나왔다. 실제로 산출된 중력가속도 평균값은 10.404로 27.1g의 공을 이용한 실험에 비해 상대오차가 4%p가량 증가하였다.
2.3.3 부력이 작용할 때의 물체의 낙하실험
[그림 5] 공기, 헬륨풍선을 단 공의 x-t 그래프
그림 5에서 $a_{He}=5.744m/s^{2}$, $a_{a}=6.186m/s^{2}$로 나타났으며, 모든 값을 대입하여 구해지는 부피의 추정값은 약 21.17L이다. 풍선의 원주 63.5cm, 풍선을 완전한 구로 추정했을 때 얻을 수 있는 부피 예측값 4.324L와 약 4.9배 차이를 보여 고려하지 않았던 공기저항이 상당히 크게 작용했음을 알 수 있다.
2.3.4 포물선 운동을 하는 물체의 분석
[그림 6] 7.1g 공의 x-t 그래프
기울기를 통해 계산한 초속도는 다음과 같다.
| 각도 | $v_0$ (m/s) | $\sigma_{v_{0}}$ | $v_0’$ (m/s) | $g$ ($m/s^{2}$) |
|---|---|---|---|---|
| 30˚ | 4.098 | 0.111 | 3.909 | 8.911 |
| 45˚ | 4.119 | 0.133 | 3.779 | 10.908 |
| 60˚ | 4.116 | 0.071 | 3.744 | 12.343 |
undefined [표 3] 각도에 따른 초속도, 표준편차, 중력가속도 비교
$v_{0}$는 x-t 그래프의 기울기를 통해 알아낸 초속도이고, $v_{0}’$는 첫번째와 두번째 프레임의 $\Delta x,\Delta y$를 이용해 피타고라스 정리로 구한 초속도이다. $v_{0}’$이 $v_{0}$보다 작은 이유는 y축 방향의 속도는 시간에 따라 그 값이 감소하므로 $v_{y0}$성분이 실제 y축 초속도보다 작게 대입되었음을 추정할 수 있다. [표 3] 의 g는 최대높이도달시간$T = \frac{v_{0}\sin \theta}{g}$ 를 통해 중력가속도를 역추론한 것으로 참값과는 다소 차이가 있다. 이는 시간간격 $\Delta t$의 최소 단위가 1/30초로 상당히 크기 때문에 부정확한 값이 도출된 것으로 보인다.
| 각도 | $v_0\cos\theta$ (m/s) | $v_0$ (m/s) | $v_0’$ (m/s) | $g$ ($m/s^{2}$) |
|---|---|---|---|---|
| 30˚ | 3.549 | 4.098 | 3.909 | 8.911 |
| 45˚ | 2.913 | 4.119 | 3.779 | 10.908 |
| 60˚ | 2.058 | 4.116 | 3.744 | 12.343 |
undefined [표 3] 각도에 따른 비행시간, 수평거리 비교
[그림 7] 각도에 따른 실제 공의 궤적 표현
| 각도 | $T$ (max H)(s) | $T_{expect}$(s) | $R$(m) | $R_{expect}$(m) |
|---|---|---|---|---|
| 30˚ | 0.166 | 0.219 | 1.377 | 1.485 |
| 45˚ | 0.267 | 0.295 | 1.716 | 1.715 |
| 60˚ | 0.367 | 0.362 | 1.368 | 1.485 |
undefined [표 4] 최고 H에서의 시간, 수평도달거리의 예측, 실제 값
$v_{0}$를 통해 추론된 최고 높이까지 도달하는데 걸린 시간과 수평도달거리와 실제 실험값에 다소 차이가 있는데, 이는 발사되는 순간, 즉 높이가 0인 순간부터 측정되지 않았고, 시간간격 $\Delta t$가 너무 커서 발생하는 오차에서 기인한 것으로 보인다. 추가적으로 30˚와 60˚ 에서 수평도달거리가 동일함을 알 수 있는데, 이는 (식 10)의 $\theta$에 $\frac{\pi}{2}-\theta$를 대입하여 확인할 수 있다.
2.3.5 질량에 따른 포물선 운동의 궤적 분석
[그림 8] 각도에 따른 실제 공의 궤적 표현(31.3g)
[그림 7]과 [그림 8]을 비교해보면 포물선의 궤적의형태는 동일하지만 최대 수평도달거리와 최고 높이가 조금씩 감소한 것을 알 수 있다. 이는 발사 장치가 각 물체에 동일한 운동에너지를 가하게 되므로, 물체의 질량이 커짐에 따라 가해주는 초속도가 줄어들기 때문이다. 동일한 초속도와 각도로 발사된 물체는 질량에 관계없이 동일 궤적을 그린다.
2.3.6 뉴턴의 사과 실험과의 비교
[그림 9] 31.3g과 7.1g 구슬의 뉴턴의 사과실험(y-t)
질량에 따라 낙하 속도는 변하지 않으므로 바닥과의 첫 충돌 직전까지는 두 그래프가 동일하지만 반발계수 차이로 인한 반발의 정도가 다른 것을 알 수 있다. 각 실험에서 7.1g 공의 중력가속도는 10.61, 31.3g의 중력가속도는 10.4로 뉴턴의 사과실험보다 부정확하다. 한편 7.1g 의 y-t 그래프를 이용해 반발계수를 계산하였는데, 바닥과 충돌 시 $\vec{v_{f}}=e\vec{v_{i}}$를 만족하므로 충돌 직후와 최고높이에서의 역학적 에너지 보존법칙에 의해,
\[e=\frac{\sqrt{h_{f}}}{\sqrt{h_{i}}}\tag{14}\]를 만족한다. 또한 바닥과 충돌을 거듭할수록 최대높이가 낮아지는 것을 통해 반발계수가 1보다 작은 상황에서 충돌 전후 역학적 에너지 보존 법칙이 성립하지 않음을 알 수 있다.
충돌별 최고 높이
| 충돌 횟수 | 최고 높이(m) |
|---|---|
| 1 | 0.895 |
| 2 | 0.828 |
| 3 | 0.776 |
| 4 | 0.725 |
undefined 충돌 구간별 반발계수
| 충돌 구간 | $\sqrt{h_{i}} : \sqrt{h_{f}}$ | $e$ |
|---|---|---|
| 1→2 | 0.9460 : 0.9099 | 0.9619 |
| 2→3 | 0.9099 : 0.8809 | 0.9681 |
| 3→4 | 0.8809 : 0.8515 | 0.9666 |
undefined [표 4] 최고 높이 비에 따른 반발계수
[표 4]를 통해 7.1g 공의 평균 반발계수는 0.965임을 계산할 수 있다. 31.3g 공은 2회 충돌 후의 궤적은 트래킹되지 않아 반발계수는 계산하지 않았다.
3. 실험 결론 및 논의
3.1 오차 요인 분석
3.1.1 발생 가능한 오차 요인 논의
뉴턴의 사과 실험에서 측정된 중력가속도 값은 이론값보다 크게 측정되었으며, 10회 측정된 값들의 표준편차는 매우 작아 평균 근처에 밀집되어 있다는 사실을 알 수 있다.
위 두가지 사실을 통해 표준편차를 크게 만드는 우연 오차나 과실 오차의 영향보다 계통 오차에 의해 측정값이 더 커지는 방향으로 편향되었음을 알 수 있고, 이는 아래에서 세부적으로 논의하고자 한다.
3.1.2 공기저항에 의한 오차
공기저항은 물체가 공기와 마찰하는 부분의 면적과 공기의 밀도, 속도의 제곱에 비례한다고 알려져 있다. 뉴턴의 사과 실험에서는 공기저항에 의한 항을 전혀 고려하지 않고 물체의 y-t 그래프를 이차 함수에 근사했다. 공기저항을 고려한 운동방정식에서는 변위와 시간이 지수 스케일로 나타나기에 다항식에 근사함에 따라 낙하하면 할수록 오차가 누적된다. 부력이 추가로 작용하는 풍선 실험에서는 대조군인 공기풍선과, 헬륨풍선에 작용하는 공기저항을 동일하다 보고 소거하였는데, 실제로 시간에 따른 속도 변화 양상이 두 풍선에서 다르게 나타났으므로 시간에 따른 공기저항 또한 차이가 생겨 간단히 소거할 수 없다. 이러한 부분도 오차 요인에 기인하였다고 판단된다.
3.1.3 광학 기기의 왜곡에 따른 거리 오차
카메라는 렌즈를 이용한 광학 기기이기 때문에 수차가 발생한다. 이 중 초점의 위치 변화에 의한 수차를 제외하고도 상의 전반적인 형태가 변형되는 왜곡(Distortion)2이 발생한다. 이는 카메라의 중심부는 더 크고 외곽은 더 작게 보이는 효과를 만들어낸다. 이러한 오차는 Tracker에서 기준자를 설정할 때 생기는 오차로, 화면의 외곽 부분이 실제 길이보다 압축되어 있음을 의미한다. 카메라가 바닥 면에 설치되어 있으므로 상단 부위가 더 압축되어 보이게 되고, 이로 인해 중력가속도가 크게 측정되었다는 사실을 쉽게 추론해볼 수 있다.
3.1.4 기준자 평면과의 불일치에 따른 오차
카메라가 촬영하고 있는 평면과 기준자 평면과 일치하였다 하더라도, 낙하 혹은 발사된 물체가 기준자가 있는 평면에서 낙하하지 않았고 이는 오차를 발생시켰다. 특히 풍선을 매단 추의 경우 system 자체의 무게중심의 변화에 따라 나선 형태를 그리며 떨어지기도 하고, 포물선 운동하는 공은 벽과 충돌하기도 하는 기준자 평면과 불일치하였기에 오차가 발생하였다.
4. 결론
4.1 뉴턴의 사과 실험
본 실험에서는 자유낙하하는 물체를 Tracker를 통해 분석하였다. 27.1g의 공의 중력가속도 실험값은 $10.045m/s^{2}$, 51.8g 추의 중력가속도 실험값은 $10.404m/s^{2}$로 참값인 $9.807m/s^{2}$와 비교했을 때 무게에 관계없이 일정한 값을 가진다는 사실을 알 수 있다. 또한 풍선을 매달았을 때 전체 system의 가속도는 각각 $a_{He}=5.744m/s^{2}$, $a_{a}=6.186m/s^{2}$로, 부력이 연직 위 방향으로 작용하여 가속도 값을 감소시켰다. $a_{a}$ 또한 참값인 $9.807m/s^{2}$에 비해 큰 차이를 보였으며, 원주를 통해 계산한 풍선의 부피에 비해 계산된 부피가 약 4.9배 차이를 보인 것은 풍선에 의한 공기저항이 가속도 감소에 매우 큰 요인으로 작용했음을 시사한다.
포물선 운동하는 물체의 분석에서는 지표면으로부터 양의 각도로 발사된 물체의 궤적이 포물선으로 나타남을 분석을 통해 확인하였으며, 두가지 방법으로 초속도를 구할 수 있으며, 최대 도달 거리, 최고 높이에 도달하는 시간 등을 이용해 중력가속도를 역으로 계산해 보았다. 계산된 중력가속도 값은 뉴턴의 사과 실험에서의 계산 값보다 상대적으로 부정확했는데, 이는 중력가속도를 계산하는 과정에서 가장 부정확한 요소인 단위시간으로 두 번 나누는 과정이 포함되었기 때문이다. 또한 바닥에 튕기는 공을 통해 충돌 전후에 에너지 손실이 발생하고, 최고 높이의 제곱근의 비율로 반발계수(0.965)를 추론하였다.
모든 실험에서 렌즈의 왜곡 현상에 의한 기준 길이의 오차, 공기 저항 항의 근사에 의한 오차, 물체가 움직인 평면이 기준자 평면과 일치하지 않아 생긴 오차 등은 중력가속도 값을 참값보다 크게 만드는데 일조하였다. 특히 렌즈의 왜곡 현상은 소프트웨어를 통한 보정이 가능하며, 기준자 평면과 물체의 운동 평면의 불일치 또한 실험 장치와 방법론의 개발을 통해 개선이 가능한 부분이므로 향후 이러한 점을 보완한 실험의 개선이 기대되는 부분이다.
5. 참고 문헌
1 Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014), p.456
2 Paul van Walree, “Distortion”, Photographic optics(2009)