[물실1] 실험02 - Tracker를 이용한 관성모멘트 측정
1. 서론
1.1 실험 목적
본 실험은 회전운동에서 관성을 표현하는 특성 값인 관성모멘트를 구하는 것에 목적이 있다. 추에 실을 매달아 자유낙하시켜 받는 장력을 통하여 회전 장치를 회전시키고, 운동방정식을 토대로 회전 장치 위에 올려진 물체의 관성모멘트를 구하여 이를 이론적인 유도 값과 비교한다. 오차 원인 분석을 통해 관성모멘트 실험값을 변화시킨 요인을 찾고 이를 정량적으로 분석할 것이다.
1.2 이론적 배경
1.2.1 관성 모멘트
임의의 두 입자 간에 항상 같은 거리를 유지하고 있는 강체에서 운동에너지는 이미 알려진 식인 $K=\frac{1}{2}mv^{2}$을 사용할 수 있다. 그러나 이때의 운동 에너지는 질량중심에 모든 미소 질량이 응집되어 있다고 가정하고 질량중심의 속력 v를 대입하여 계산된 값이다. 미소 질량 N개가 분포되어 있다 가정하면 운동에너지는 (식 1)로 표현된다.
\[K=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}+\cdots +\frac{1}{2}m_{N}v_{N}^{2}\tag{1}\]물체의 회전 운동을 고려해보았을 때 물체의 속도는 회전 중심으로부터의 거리와 각속도의 곱으로 표현되므로,
\[\begin{aligned} K=\frac{1}{2}m_{1}(r_{1}\omega)^{2}+\frac{1}{2}m_{2}(r_{2}\omega)^{2}+\cdots +\frac{1}{2}m_{N}(r_{N}\omega)^{2} \\ &=\frac{1}{2}\omega^{2}\sum_{k=1}^{N} m_{k}r_{k}^{2}=\frac{1}{2}I\omega^{2} \end{aligned}\tag{2}\]동일한 물체에 대해 특정 회전축에 대한 $\sum_{k=1}^{N} m_{k}r_{k}^{2}$값은 항상 일정하며, 이를 관성모멘트 혹은 회전관성 $I$ 라 정의한다. 이산적인 상황이 아닌 연속적인 질량 분포를 가진 물체에 대해서는 (식 3)과 같이 정의된다.
\[I=\int r^{2}dm\tag{3}\]즉 회전중심으로부터 거리와 미소 질량의 크기를 알고 이를 적분할 수 있다면 관성모멘트를 구할 수 있는데, 간단한 입체도형에 대해서는 이미 계산된 관성모멘트가 존재하며 이는 (식 4)와 같다.
\[\begin{aligned} I_{plate}= \frac{1}{2}mR^{2} \\ I_{ring}= \frac{1}{2}m\left(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right) \\ I_{rect}= \frac{1}{12}m(a^{2}+b^{2}) \end{aligned}\tag{4}\]1.2.2 회전관성과 토크
회전운동을 표현하기에 힘은 회전 방향에 대한 정보를 알려주지 않으므로 적절치 않다. 새로운 표현법, 토크(Torque)를 정의하여 회전운동에서의 힘을 표현하고자 한다. 이는 직선 운동에 대한 뉴턴의 제 2 법칙을 회전운동에 적용한 것이다.
\[\vec{\tau}_{net}=I\vec{\alpha}=\vec{r}\times \vec{F}\tag{5}\](식 5)를 통해 힘과 각가속도, 관성 모멘트, 토크의 관계를 알 수 있다.
1.2.3 평행축 정리
물체의 회전축과 질량중심이 동일 위치에 있다면 (식 3)에 의해 간단히 관성 모멘트를 구할 수 있다. 그러나 물체의 질량중심과 회전축이 다른 위치라면 구하기 까다로울 수 있는데, 질량중심을 지나는 축과 평행한 축을 회전축으로 할 때의 관성 모멘트는 평행축 정리에 의해 간단히 구할 수 있다.
[1]
[그림 1] 평행축 정리의 설명을 위한 개략도
z축과 평행한 회전축에 대해 원점을 질량 중심이라 하고 $I_{com}$을 알고 있다면, 임의의 위치 P에서의 z축과 평행한 회전축에 대한 관성모멘트를 구할 수 있다는 것이다. [그림 1]와 같이 a, b, x, y를 이용하여 미소 질량 dm의 위치를 표현할 수 있으며, (식 3)을 이용하여 나타내면 다음과 같다.
\[\begin{aligned} I=\int r^{2}dm=\int \left[\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}\right]dm \\ &=\int \left(x^{2}+y^{2}\right)dm-2a\int xdm-2b\int ydm+\int \left(a^{2}+b^{2}\right)dm \\ =I_{com}+Mh^{2} \end{aligned}\tag{5}\]1.2.4 회전운동에 관한 운동방정식
관성 모멘트 실험 장치에서 추에 작용하는 중력과 실에 작용하는 장력의 차에 해당하는 힘이 회전장치의 축과 연결되어 있으므로, 다음과 같은 식을 세울 수 있다.
\[mg-T=mR\alpha\tag{6}\]또한 물체에 작용하는 토크의 크기는 회전축과 힘의 작용점사이의 거리와 힘의 크기의 곱이며, 이는 물체의 관성 모멘트와 각가속도의 곱과 같으므로, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
\[\tau=RT= I_{0}\alpha\tag{7}\]회전판의 관성 모멘트 $I_{0}$를 구하기 위해 좌변을 $I_{0}$을 제외하고 정리해주면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
\[I_{0}=\frac{mgR}{\alpha}-mR^{2}\tag{8}\]원판 위에 올려진 물체의 경우에도 동일한 방법으로 합성 관성모멘트를 구한 뒤 평행축 정리를 이용하여 시료의 관성모멘트를 구할 수 있다. 실험에서는 질량 51.4g의 추와 반지름 2.15cm의 회전장치를 이용하였음으로 이를 대입하여 구하면 된다.
2. 실험 내용
2.1 실험 장비
관성 모멘트 실험 장치, 여러가지 형태의 시료(사각, 원판, 원환), Tracker 영상 기록 용 카메라, 정밀한 길이와 질량 측정을 위한 버니어 캘리퍼스, 전자저울
[그림 2] 관성모멘트 실험장치 단면도
2.2 실험 방법
2.2.1 회전 장치의 관성 모멘트 측정
회전 원판 자체의 관성 모멘트를 측정하기 위해 시료를 올려놓지 않은 회전 원판에 추를 실을 통해 연결시킨 뒤 동일한 평면에서 낙하시킨다. 이론적인 시간에 따른 각속도($\theta-t$) 그래프 다음 t에 관한 이차식을 만족한다.
\[\theta\left(t\right)=\frac{1}{2}\alpha t^{2}+\omega_{0}t+\theta_{0}\tag{9}\]실험을 통해 $\theta-t$ 그래프를 이차식에 fitting 한 후 이차항의 계수에 2를 곱하고, 각도의 단위를 라디안으로 바꾸고, 프레임당 시간인 1/30초로 두 번 나누어 해당 실험에서의 각가속도를 알아낸다. 주어진 값과 구한 각가속도를 (식 8)에 대입하여 회전 장치의 관성모멘트를 알아낼 수 있다. 이를 3~4회 반복하여 도출한 관성모멘트의 평균값을 회전장치의 관성모멘트라 한다.
2.2.2 여러 시료들의 관성 모멘트 측정
여러 시료들의 관성모멘트의 측정은 시료의 질량중심과 회전축이 일치하므로 실험을 통해 구한 관성모멘트 값에서 회전 장치의 관성모멘트를 뺀 값을 시료의 관성모멘트라고 간주하고 이를 3~4회 반복한다. 미리 측정한 시료들의 질량과 길이를 이용하여 구한 이론적 관성모멘트 값과 비교하여 오차 원인을 분석한다. 시료들의 규격과 질량은 다음과 같다.
| 시료 | 길이 | 질량 |
|---|---|---|
| 직사각형판 | 9.2cm x 18cm x (0.5cm) | 644.1g |
| 원판 | R= 9cm (3t) | 570.4g |
| 원형 고리 | R2=9cm, R2-R1=1cm (14t) | 609.2g |
| 직육면체 | 6cm x 2cm x (2.5cm) | 233.3g |
| 원기둥 | R=1.5cm (h=4.3cm) | 234.3g |
undefined [표 1] 실험 시료들의 측정된 물리량
[표 1]과 (식 4)를 이용하여 이론적인 시료의 관성모멘트를 구한다. 원기둥과 직육면체의 경우 시료의 질량중심과 회전축이 일치하지 않으므로 질량중심과 시료와의 거리(원기둥:4cm, 직육면체:7cm)를 이용하여 평행축 정리로 시료 하나의 관성 모멘트를 구한다.
2.3 실험 결과 및 분석
2.3.1 회전 장치의 관성모멘트 측정
Tracker 프로그램을 통해 분석한 회전 원판의 $\theta-t$ 그래프를 Python의 Matplotlib을 이용하여 나타낸 그래프이다.
[그림 3] 회전 원판의 $\theta-t$ 그래프
| 순번 | 이차항의 계수 | 각가속도 | |
|---|---|---|---|
| $\alpha$ ($rad/s^{2}$) | 관성모멘트$I_{0} (kg\cdot m^{2})$ | ||
| 1 | 0.0313 | 0.9833 | 0.01100 |
| 2 | 0.0334 | 1.0493 | 0.01030 |
| 3 | 0.0387 | 1.2158 | 0.00889 |
| 4 | 0.0377 | 1.1844 | 0.00912 |
| Avg. | 0.035275 | 1.032 | 0.00983 |
undefined [표 2] 회전 원판의 관성 모멘트
[그림 3]에서 총 4번의 실험에 대한 그래프가 겹쳐지지는 않았지만 최고차항 계수는 거의 동일한 값을 얻었는데, 이는 분석하는 영상의 시작점이 회전원판의 회전의 시작점과 동일하지 않기 때문이다. 또한 이차식으로 근사할 때 약 7초 이후 각속도가 점차 감소하는 부분은 제외시킨 후 추세선을 그렸는데, 이는 추가 끝까지 낙하하고 남은 관성으로 회전하는 구간이므로 (식 6) 이 성립하지 않는 구간이기 때문이다.
2.3.2 여러 시료의 관성모멘트 측정
여러 시료의 관성모멘트를 측정하기 위해서 2.3.1.의 실험과 동일한 방법으로 시료를 올려놓은 상태의 관성모멘트를 구한다. 시료의 관성 모멘트를 구하기 위해 구한 관성모멘트에서 [표 2]에서 구한 회전 장치의 관성 모멘트를 빼어 시료 자체의 관성모멘트를 구한다.
\[\begin{aligned} I^{'}=\frac{mgR}{\alpha^{'}}-mR^{2} \\ I_{sample}=I^{'}- I_{0} \end{aligned}\tag{10}\]원기둥과 직육면체의 경우는 평행축 정리를 이용하여 원기둥과 직육면체 하나의 관성모멘트를 구한다.
\[I_{sample}=\frac{I^{'}- I_{0}}{2}-Md^{2}\tag{11}\]I’ : 합성 관성모멘트, M : 시료 하나의 질량
d : 시료 하나의 무게중심과 회전축 사이의 거리
이렇게 구한 시료의 관성모멘트를 [표 1]에서 주어진 질량과 길이 정보를 이용해 구한 시료의 이론적인 관성 모멘트 값과 비교하고 상대오차를 구해 오차의 원인을 분석한다. 아래 [그림 4~8]을 통해 여러 시료와 회전 원판의 $\theta-t$ 그래프를 얻을 수 있었으며 이를 (식 9)를 이용하여 동일하게 각가속도를 구하고, 각가속도를 통해 합성 관성모멘트를 구하였다. 아래 표는 최고차항 계수를 통하여 구한 단일 시료의 관성 모멘트를 정리한 것이다.
| 시료 | 각가속도 $\alpha$ 평균($rad/s^{2}$) | 관성모멘트 $I 평균$ $(kg\cdot m^{2})$ | 관성모멘트 $I 이론값$ $(kg\cdot m^{2})$ | 상대오차 (%) | | —– | —————————— | —————————— | ——————————- | ——– | | 직사각형 | 0.7398 | $4.8293\times 10^{-3}$ | $2.1394\times 10^{-3}$ | 125 | | 원판 | 0.7749 | $4.1343\times 10^{-3}$ | $2.3101\times 10^{-3}$ | 78.7 | | 원형 고리 | 0.6189 | $7.6651\times 10^{-3}$ | $4.4167\times 10^{-3}$ | 73.5 | | 직육면체 | 0.6377 | $1.4557\times 10^{-4}$ | $7.7766\times 10^{-5}$ | 193 | | 원기둥 | 1.0053 | $9.0245\times 10^{-5}$ | $2.6359\times 10^{-5}$ | 15.4 |
undefined [표 3] 회전 원판 + 여러 가지 시료의 관성 모멘트
2.3.3 직사각형판의 관성모멘트 측정
[그림 4] 회전원판과 직사각형 판 시료의 $\theta-t$ 그래프
| 순번 | 이차항 | |||
|---|---|---|---|---|
| 계수 | 각가속도 | |||
| $\alpha$ ($rad/s^{2}$) | 관성모멘트$I_{s} (kg\cdot m^{2})$ | 오차 | ||
| 1 | 0.0256 | 0.8042 | $3.6212\times 10^{-3}$ | 70% |
| 2 | 0.0228 | 0.7162 | $5.276\times 10^{-3}$ | 147% |
| 3 | 0.0229 | 0.7194 | $5.2099\times 10^{-3}$ | 144% |
| 4 | 0.0229 | 0.7194 | $5.2099\times 10^{-3}$ | 144% |
| Avg. | 0.0236 | 0.7398 | $4.8293\times 10^{-3}$ | 125% |
undefined [표 4] 회전 원판과 직사각형 판 시료의 관성 모멘트
4회의 실험을 통해 도출된 직사각형 판의 관성모멘트 실험값은 $4.8293\times 10^{-3}$이며, 이는 이론값인 $2.139\times 10^{-3}$과 125%의 양의 오차를 가진다.
2.3.4 원형 판의 관성모멘트 측정
[그림 5] 회전원판과 원판 시료의 $\theta-t$ 그래프
| 순번 | 이차항 | |||
|---|---|---|---|---|
| 계수 | 각가속도 | |||
| $\alpha$ ($rad/s^{2}$) | 관성모멘트$I_{s} (kg\cdot m^{2})$ | 오차 | ||
| 1 | 0.0244 | 0.7665 | $4.284\times 10^{-3}$ | 85.4% |
| 2 | 0.0244 | 0.7665 | $4.284\times 10^{-3}$ | 85.4% |
| 3 | 0.0252 | 0.7917 | $3.835\times 10^{-3}$ | 66.0% |
| Avg. | 0.0287 | 0.7749 | $4.1343\times 10^{-3}$ | 78.7% |
undefined [표 5] 회전 원판과 원판 시료의 관성 모멘트
3회의 실험을 통해 도출된 원판의 관성모멘트 실험값은 $4.1343\times 10^{-3}$이며, 이는 이론값인 $2.310\times 10^{-3}$과 78.7%의 양의 오차를 가진다.
2.3.5 직육면체의 관성모멘트 측정
[그림 6] 회전원판과 직육면체 시료의 $\theta-t$ 그래프
| 순번 | 이차항 | |||
|---|---|---|---|---|
| 계수 | 각가속도 | |||
| $\alpha$ ($rad/s^{2}$) | 관성모멘트$I_{s} (kg\cdot m^{2})$ | 오차 | ||
| 1 | 0.0219 | 0.6880 | $5.8977\times 10^{-3}$ | 141% |
| 2 | 0.0199 | 0.6151 | $7.4809\times 10^{-3}$ | 203% |
| 3 | 0.0192 | 0.6032 | $8.1128\times 10^{-3}$ | 231% |
| Avg. | 0.0203 | 0.6377 | $7.1638\times 10^{-3}$ | 193% |
undefined [표 6] 회전 원판과 직육면체 시료의 관성 모멘트
3회의 실험을 통해 도출된 직육면체 시료들의 관성모멘트 실험값은 $7.1638\times 10^{-3}$이며, 평행축 정리를 이용하여 단일 직육면체 시료의 관성모멘트 실험값을 계산하여 $1.4577\times 10^{-4}$를 얻었다. 이는 이론값인 $7.7766\times 10^{-5}$과 193%의 양의 오차를 가진다.
2.3.6 원기둥의 관성모멘트 측정
[그림 7] 회전원판과 원기둥 시료의 $\theta-t$ 그래프
| 순번 | 이차항 | |||
|---|---|---|---|---|
| 계수 | 각가속도 | |||
| $\alpha$ ($rad/s^{2}$) | 관성모멘트$I_{s} (kg\cdot m^{2})$ | 오차 | ||
| 1 | 0.0302 | 0.9487 | $1.5686\times 10^{-3}$ | 95% |
| 2 | 0.0319 | 1.0022 | $9.5988\times 10^{-4}$ | 19.6% |
| 3 | 0.0338 | 1.0618 | $3.5201\times 10^{-4}$ | -56.1% |
| Avg. | 0.0320 | 1.0053 | $9.2609\times 10^{-4}$ | 15.4% |
undefined [표 7] 회전 원판과 원기둥 시료의 관성 모멘트
3회의 실험을 통해 도출된 원기둥 시료들의 관성모멘트 실험값은 $9.2609\times 10^{-4}$이며, 평행축 정리를 이용하여 단일 직육면체 시료의 관성모멘트 실험값을 계산하여 $9.0245\times 10^{-5}$를 얻었다. 이는 이론값인 $2.6359\times 10^{-5}$과 15%의 양의 오차를 가진다.
2.3.7 원형 고리의 관성모멘트 측정
[그림 8] 원형 고리 시료의 $\theta-t$ 그래프
| 순번 | 이차항 | |||
|---|---|---|---|---|
| 계수 | 각가속도 | |||
| $\alpha$ ($rad/s^{2}$) | 관성모멘트$I_{s} (kg\cdot m^{2})$ | 오차 | ||
| 1 | 0.0194 | 0.6095 | $7.9276\times 10^{-3}$ | 79.5% |
| 2 | 0.0188 | 0.5906 | $8.4951\times 10^{-3}$ | 92.3% |
| 3 | 0.0210 | 0.6597 | $6.5728\times 10^{-3}$ | 48.8% |
| Avg. | 0.0197 | 0.6189 | $7.6651\times 10^{-3}$ | 73.5% |
undefined [표 8] 회전 원판과 원형 고리 시료의 관성 모멘트
3회의 실험을 통해 도출된 원형 고리의 관성모멘트 실험값은 $7.6651\times 10^{-3}$이며, 이는 이론값인 $4.4167\times 10^{-3}$과 73.5%의 양의 오차를 가진다.
3. 실험 결론 및 논의
3.1 오차 요인 분석
3.1.1 발생 가능한 오차 요인 논의
각각의 시료에 대한 실험값을 비교해보면, 모든 실험에서 상대적으로 큰 양의 오차를 확인할 수 있다. 이는 어떠한 실험 내부의 요인에 의해 오차가 양으로 치우쳤거나, 회전원판의 관성모멘트($I_{0}$)가 작게 측정되어 관성모멘트 값들이 모두 이론값보다 큰 방향으로 치우쳤다는 의미로 이해된다. 이러한 관점에서 크게 세가지 해석을 통해 이번 실험의 큰 오차를 분석하고자 한다.
3.1.2 이론값보다 작은 가속도에 의한 오차
관성 모멘트 값이 이론적인 값보다 크게 도출된 것을 역으로 추론하면, (식 8)에 의해 회전원판과 시료의 각가속도가 이론값보다 작기 때문이라는 결론을 내릴 수 있다. 즉 추의 중력에 의해 당겨지는 힘이 회전 장치에 온전히 작용하지 않았다는 것인데, 실험에서 힘의 방향을 바꾸어 주기 위한 도르래의 자체 토크를 고려하지 않았으며, 실이 동일 평면에서 회전장치를 당기지 않았기 때문이다. 실이 약간 $\theta$만큼 틀어진 상태로 회전 장치를 당겼다면 전체 힘의 $\cos \theta$배 만 토크로 사용되었을 것이다. 이러한 오차 요인들로 인해 이론적으로 계산된 힘의 크기보다 작은 힘만이 회전 장치의 회전에 기여했기 때문에 관성모멘트가 양의 방향의 오차를 만들어낸 것으로 보인다.
3.1.3 회전축의 불일치에 의한 오차
회전 원판의 질량중심이 실제로 표시된 위치와 달라지면서 회전축과 불일치로 인해 생기는 오차 또한 존재한다. Tracker 분석을 통해 회전원판에서 질량중심으로 표시된 부분이 실제로 미세하게 회전하는 것을 확인하였다. 또한 시료를 올려놓을 때 시료의 질량중심이 회전축과 일치하지 않았으며, 회전 도중 카메라의 방향이 흔들리는 등 회전 장치와 시료의 무게중심이 회전축과 틀어지게 하는 요인이 다수 존재하였다. 즉 실제 질량중심이 회전축에 위치하지 않기 때문에 오차가 발생했으며, 이 오차는 평행축정리를 고려하면 관성모멘트 값을 크게 만드는, 즉 양의 오차에 기인하는 요인이다.
3.1.4 수치적 오차의 가중
Tracker를 이용하여 측정하는 값은 시간에 따른 물체의 각도의 변화이고, 이를 이차식으로 근사하여 각가속도를 알아내게 된다. 도출된 각가속도는 (식 8)에 의해 분모 term에 대입되어 관성모멘트를 구하는데 이용되게 되는데, 각가속도가 분모에 대입되기 때문에 상대적으로 작은 차이에 의해서 관성모멘트 실험값은 크게 변하게 된다. 이는 실험 2.3.6.의 2번과 3번 실험에서 각가속도가 0.06 증가함에 따라 상대오차가 75% 증가한다는 사실을 통해 알 수 있다. 이차식으로 근사하면서 최고차항의 계수의 유효숫자가 세 자리가 되었고, 부정확한 데이터에 의한 수치적인 오차가 가중되었을 것으로 보인다.
4. 결론
본 실험에서는 여러 가지 기하학적 형태를 가지는 시료의 관성 모멘트 값을 Tracker를 통하여 측정하고, 길이와 질량과 같은 물리 량을 통해 계산된 이론 값과 비교하여 그 오차를 분석하였다. 직사각형 판의 관성모멘트 실험값은 $4.8293\times 10^{-3}$으로, 이론값인 $2.139\times 10^{-3}$과 125%의 상대오차를 보였다. 원판과 원형 고리 또한 관성모멘트 실험값은 각각 $4.1343\times 10^{-3}, 7.6651\times 10^{-3}$으로, 이론값인 $2.310\times 10^{-3}$, $4.4167\times 10^{-3}$과 각각 78.7%, 73.5%의 큰 상대오차를 보였다. 한편 단일 시료의 질량중심이 회전축에 위치하지 않았던 직육면체와 원기둥 시료의 경우 평행축 정리를 역산하여 단일 시료의 관성모멘트를 계산하였는데, 직육면체 $1.4577\times 10^{-4}$, 원기둥 $9.2609\times 10^{-4}$을 얻었으며, 이론값인 $7.7766\times 10^{-5}$, $2.6359\times 10^{-5}$와는 193%, 15.4%의 상대오차를 보였다.
대부분에 실험에서 양의 방향으로 치우친 상대오차를 얻었다는 결과를 통해 양의 방향의 오차에 대한 요인을 크게 세가지로 요약하였다. 먼저 틀어진 실의 방향, 도르래의 토크에 대한 미고려 등의 여러 원인으로 인해 이론적인 값보다 적은 양의 힘이 회전장치를 돌리는 데 사용되었고, 양의 오차가 발생했을 것이다. 또한 회전장치와 시료의 질량중심이 회전축과 불일치하기 때문에 이를 평행축 정리로 고려해준다면 역시 양의 오차를 만들어내는데 기인했을 것이다. 마지막으로 실험을 통해 구한 각가속도가 분모에 대입되면서 적은 유효숫자로 인한 수치적 오차가 가중되었을 것으로 보인다.
실험 오차를 줄이기 위해서는 단순히 자유낙하하는 추에 의한 힘의 크기를 mg로 가정하는 것이 아니라 용수철 저울 등을 통해 정확히 실에 가해지는 장력을 측정하여 대입한다면 3.1.2.의 오차를 줄일 수 있을 것이다. 회전축과 질량중심의 불일치는 여러 가지 방법을 이용하여 회전 장치와 시료 전체의 질량중심을 알아낸 후 회전축과 일치하게 만들고, 부득이하게 질량중심이 벗어난다면 평행축 정리를 통해 보정하여 오차를 줄일 수 있을 것이다.
5. 참고 문헌
[1] 그림, 증명 - Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014), p.310