[물실1] 실험03 - 시지프스의 고민
1. 서론
1.1 실험 목적
본 실험을 통해 직선 궤도와 원형 궤도를 내려오는 구슬의 운동을 역학적 에너지 보존 법칙을 이용하여 분석한다. 이를 통해 역학적 에너지가 보존됨을 실험적으로 확인하고, 구슬의 질량, 낙하 높이에 따라 달라지는 물리량이 있는지, 구슬이 원형 궤도 꼭대기에서 떨어지지 않을 최소 높이 $h_{min}$를 구하고 이론값과 비교할 것이다. 또한 원형 궤도에서 구슬과 레일 사이의 마찰력에 의해 감소하는 역학적 에너지를 두가지 방법으로 구해 비교하는 과정을 통해 구슬과 트랙 사이의 운동 마찰계수를 도출할 것이다.
1.2 이론적 배경
1.2.1 역학적 에너지 보존 법칙 [1]
먼저 지구 중력장 내에서 운동하는 물체의 경우 지면 위 방향을 양으로 하였을 때,
\[F=-mg\tag{1}\]의 힘을 받게 된다. 지면 위를 미끄러지는 물체의 알짜 힘 통해 일을 계산할 때는 일의 정의에 따라 힘의 방향과 같은 수직방향 이동성분만을 고려하여 외력이 한 일을 계산하면 (식 2)와 같다.
\[W=\int_{h_{0}}^{h} F_{Ext}dh=\int_{h_{0}}^{h} -mgdh\tag{2}\]질량과 중력가속도는 h와 상관없는 상수이고, 외력이 물체에 한 일은 $-mg(h-h_{0})$가 되어 이 일 만큼 물체의 퍼텐셜 에너지가 증가하므로,
\[\Delta U=mg\left(h-h_{0}\right), U=mgh\tag{3}\]편의상 퍼텐셜에너지가 0인 지점을 지면으로 하면 U=mgh가 되며, 이는 물체의 지면으로부터의 수직 리에 비례한다. 물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지를 합한 값이 역학적 에너지이며, 이는 보존된다.
\[\begin{aligned} E=E_{k}+E_{p}=\frac{1}{2}mv^{2}+mgh\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}m\frac{d\left(v^{2}\right)}{dt}+mg\frac{dh}{dt} \\ =mgv-mgv=0 \end{aligned}\tag{4}\](식 4)에 의해 시간에 관계없이 물체의 역학적 에너지가 보존된다는 것을 알 수 있다.
1.2.2 경사면에서의 운동과 에너지 보존
[그림 1] 유효 반지름의 결정
두 개의 접점이 있는 레일 위를 구르는 구슬에서 각속도 $\omega$를 계산하기 위해서는 구슬의 반지름을 그대로 대입하지 않고 궤도면과 구슬의 질량중심의 수직 거리를 유효반지름으로 사용해야하며, 이는 두 궤도 간의 직선거리 d와 구슬의 반지름 r을 이용해 다음과 같이 표현된다.
\[r_{eff}=\sqrt{r^{2}-(\frac{d}{2})^{2}}\tag{5}\]한편, 구슬은 점질량이 아니므로 구슬의 관성모멘트와 회전을 고려하여 특정 지점에서의 구슬의 운동에너지는 다음과 같이 표현된다.
\[E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I_{sphere}\omega^{2}\tag{6}\]
[그림 2] 빗면 위에서의 구슬의 운동
구슬을 완벽한 구로 가정하고 구의 관성모멘트 미끄러짐 없이 물체가 구른다고 가정하면, $I_{sphere}= \frac{2}{5}mr^{2}$, $\omega=\frac{v}{r_{eff}}$를 대입하면 된다. 한편, 빗면의 모든 점에서 역학적 에너지 보존 법칙은 성립하므로, 이를 표현하면 다음과 같다.
\[\begin{aligned} E=E_{k}+E_{p} \\ &=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{5}m(\frac{r}{r_{eff}})^{2}v^{2}+mgh=mgh_{0} \end{aligned}\tag{7}\](식 7)을 정리하여 v(h)를 구하면 (식 8)과 같으며, 높이 h를 제외한 항을 $A=\sqrt{\frac{10g(R^{2}-\left(\frac{d}{2}\right)^{2})}{7R^{2}-5\left(\frac{d}{2}\right)^{2}}}$ 라 하면 속력은 h에 대해 간단히 표현된다.
\[v=\sqrt{\frac{10g(R^{2}-\left(\frac{d}{2}\right)^{2})(h_{0}-h)}{7R^{2}-5\left(\frac{d}{2}\right)^{2}}} =A\sqrt{(h_{0}-h)}\tag{8}\]v는 빗면을 따라 운동하는 구슬의 속도이므로, 삼각함수를 이용해 시간에 따른 높이 변화로 나타내고 이를 변수분리하여 높이에 대해 적분해 정리해주면, 특정 높이 $h_{1}$에서 $h_{2}$까지 가는 데 걸리는 시간 $\Delta t$를 구할 수 있다.
\[\begin{aligned} v=-\frac{1}{\sin \theta}\frac{dh}{dt}, \frac{dh}{A\sqrt{\left(h_{0}-h\right)}}=-\sin \theta dt \\ \int_{h_{1}}^{h_{2}} \frac{dh}{\sqrt{\left(h_{0}-h\right)}}=-\int_{t_{1}}^{t_{1}+\Delta t} Asin\theta dt \\ 2\left[\left(h-h_{2}\right)^{\frac{1}{2}}-\left(h-h_{1}\right)^{\frac{1}{2}}\right]=Asin\theta\Delta t \\ \Delta t=\frac{2}{A}\frac{1}{\sin \theta}\left[\left(h-h_{2}\right)^{\frac{1}{2}}-\left(h-h_{1}\right)^{\frac{1}{2}}\right] \end{aligned}\tag{9}\]마지막으로 원형 궤도 꼭대기에서의 역학적 에너지와 구심력을 고려하여 최소 높이인 $h_{min}$를 도출하는 과정이다. 원형 궤도에서의 역학적 에너지 식은 다음과 같다.
\[E=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}I_{sphere}\omega^{2}+2R_{eff}mg=mgh_{min}\tag{10}\]이 때 원형 궤도의 유효 회전반경 $R_{eff}$는 구슬의 크기를 고려하여 원형궤도의 중심으로부터 궤도 위에 놓인 구슬의 질량중심까지의 거리이므로 $R_{eff}=R_{trk}-r$가 된다. 원형 궤도에서 구슬에 작용하는 운동방정식을 세웠을 때 꼭대기까지 도달할 동안 물 체가 떨어지지 않을 최소 조건은 원형 궤도에 의한 수직항력 N이 0일 때, 즉 중력이 온전히 구심력의 역할을 할 때이므로 운동 방정식을 세워 보면,
\[\frac{mv^{2}}{R_{eff}}=\frac{mv^{2}}{R_{trk}-r}=mg\tag{11}\](식 11)에서 구한 속도의 제곱 값을 (식 10)에 대입하여 $h_{min}$을 구할 수 있으며, $h_{min}=R_{eff}(\frac{5}{2}+\frac{r^{2}}{5r_{eff}^{2}})$로 (식 15와 같다.) 이러한 방법으로 이론적인 $h_{min}$과 실험을 통해 도출된 최소 높이를 비교할 것이다.
2. 실험 내용
2.1 실험 장비
직선과 원형 궤도, 31.3, 54.8g의 플라스틱 공, 1m 자, 스탠드, 전자식 저울, 버니어 캘리퍼스
[그림 3] 시지프스의 고민 실험장치 단면도
2.2 실험 방법
2.2.1 직선트랙에서의 에너지 보존법칙 확인
[그림 3]과 같이 직선 궤도와 원형 궤도를 연결하고, 초기 높이를 바꿔가며 구슬을 떨어트린다. 각 초기 높이당 5회 이상 측정하여 촬영된 영상을 Tracker로 분석하여, 특정 높이 $h_{1}$에서 $h_{2}$까지 이동하는 데 걸리는 시간 $\Delta t$를 구하고, 이를 이론값과 비교하여 직선 트랙에서 역학적 에너지 보존법칙이 성립함을 확인한다. 특정 지점에서의 퍼텐셜에너지와 운동에너지를 구하고 증감을 비교하기 위해 연속된 두 프레임의 데이터로 y축방향의 평균 속력을 구하고, 두 지점의 평균 높이를 이용하여 운동에너지와 퍼텐셜 에너지의 증감을 구할 수 있다.
\[E_{k}=\frac{mg}{2A^{2}sin^{2}\theta}(\frac{y_{2}-y_{1}}{t_{2}-t_{1}})^{2}, E_{p}=mg\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\tag{12}\]또한, 구슬의 질량을 바꾸어 보며 질량에 의한 역학적 에너지 보존 여부에 변화가 있는지 살펴본다.
(식 12)를 하여 시간에 따른 역학적 에너지 그래프를 도시하여 에너지 보존 여부를 확인하고, (식 9)의 $\Delta t$의 실험값과 이론값과 일치하는지 확인하여 역학적 에너지 보존법칙이 성립하는지 판단한다.
2.2.2 원형 트랙 회전을 위한 $h_{min}$ 구하기
트랙의 최고점에서 궤도를 유지하며 돌기 위한 최소 낙하 높이 $h_{min}$를 구하기 위해 초기 위치로부터 5, 10, 15, 20, 30cm 떨어진 지점에서 실험을 반복하여, 트랙의 최고점에서 궤도를 유지한 최소 높이를 확인하고 이를 이론값과 비교한다. 이를 질량이 다른 구슬(31.3g, 54.8g)에 대해 반복 실험하여 질량에 의한 효과가 존재하는지도 알아본다.
2.2.3 마찰에 의한 역학적에너지 감소 측정
마지막으로 2.2.2에서 구한 최소높이보다 낮은 곳에서 구슬을 떨어트릴 경우 원형 궤도를 모두 오르지 못하고 트랙 사이를 왕복운동하게 된다. 이 때 원형 궤도를 올라가는 최대 높이를 이용하여 원형 트랙에서 구슬에 작용하는 마찰력에 의한 역학적 에너지 감소량을 추정하고 이를 고찰한다.
원형 궤도에서 연직 면과 이루는 구슬의 각도가 임의의 각 $\theta$라 할 때 물체에 작용하는 힘은 다음과 같다.
[그림 4] 원형 궤도에서의 Free-body diagram
원형 궤도에서의 최고 높이에서의 각도가 $\theta_{1}$이라면, 1/4주기 운동에서 마찰에 의한 역학적 에너지 손실은 다음과 같다.
\[W_{f}=\int fds=\int_{0}^{\theta_{1}} \mu_{k}mgrcos\theta d\theta=\mu_{k}mgrsin\theta_{1}\tag{13}\]또한 1/4 주기 동안 손실된 역학적 에너지는 최저점에서의 운동에너지에서 최고점의 퍼텐셜 에너지를 뺀 값으로도 구할 수 있다. 이를 통해 미지의 값인 운동마찰계수 $\mu_{k}$를 정량적으로 추론할 수 있다.
\[\begin{aligned} W_{f}=E_{k,btm}-E_{p,top}=\mu_{k}mgrsin\theta_{1} \\ \mu_{k}=\frac{E_{k,btm}-E_{p,top}}{mgrsin\theta_{1}}=\frac{\frac{1}{2}v^{2}-gh(1-\cos \theta_{1})}{grsin\theta_{1}} \end{aligned}\tag{14}\](식 14) 에서의 v는 최저점, 즉 $\theta=0$에서의 구슬의 속도를 의미한다.
2.3 실험 결과 및 분석
2.3.1 직선트랙에서의 에너지 보존법칙 확인
(시간-역학적 에너지 그래프를 통해)
Tracker 프로그램을 통해 분석한 궤도를 내려오는 31.3g 구슬의 시간에 따른 역학적 에너지의 그래프는 아래 부록의 [그림 5~9]와 같다. 또한, 54.8g 구슬의 시간에 따른 역학적 에너지의 그래프도 부록의 [그림 10~14]와 같다. 그래프의 전체적인 개형은 기울기가 음수인 직선의 형태로, 대체적으로 역학적 에너지가 보존되지만, 마찰에 의한 에너지 손실로 인해 시간이 지날수록 역학적 에너지가 감소한다는 사실을 알 수 있다. 구슬이 원형 궤도에 진입하는 시점부터는 구슬의 운동 각도가 달라지게 되어 y축방향의 속도를 이용해 운동 에너지를 계산한 (식 12)가 성립하지 않게 되므로, 그래프의 개형이 심하게 요동치는 것을 알 수 있다.
[그림 15] 초기거리 20cm, 54.8g의 퍼텐셜, 운동에너지
[그림 15]는 20cm, 54.8g 상황에서의 퍼텐셜과 운동에너지를 나타낸 것으로, 노란 점이 퍼텐셜, 파란 점이 운동 에너지, 초록 점이 역학적 에너지를 의미한다. 이 그래프를 통하여 퍼텐셜 에너지 감소량만큼 운동에너지가 증가하여 역학적 에너지가 유지되나, 0초와 0.3초의 역학적 에너지를 비교해 보았을 때 마찰 등에 의한 손실에 의해 총 역학적 에너지는 감소했다는 사실을 알 수 있다.
2.3.2 직선트랙에서의 에너지 보존법칙 확인
(식 9의 $\Delta t$의 이론값과의 비교를 통해)
2.3.1.에서는 연속하는 두 프레임간의 y축 변위 비교를 통하여 시간에 따른 역학적 에너지를 구하고 경향성을 알아보았다. 정량적인 비교를 위해 낙하를 시작한 순간부터 직선 궤도에 끝부분에 도달할 때까지 걸린 시간 $\Delta t$와 참값과의 비교해 역학적 에너지가 보존 여부를 알아볼 것이다. 유효 반지름 등을 고려한 적절한 값을 대입해 도출한 식은 다음과 같고, 자세한 도출 과정은 부록에 기술하였다. (6.3참조)
| 질량 | 초기 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 위치 | $\Delta t$(avg)(s) | ||||
| 실측값 | $\Delta t$ (s) | ||||
| 이론값 | 오차율 | ||||
| (%) | 표준 | ||||
| 편차 | |||||
| 31.3g | 0cm | 0.3466 | 0.3234 | 7.17% | 0.004 |
| 31.3g | 5cm | 0.3486 | 0.3047 | 14.41% | 0.035 |
| 31.3g | 10cm | 0.3190 | 0.2854 | 11.77% | 0.004 |
| 31.3g | 15cm | 0.3022 | 0.2649 | 14.08% | 0.003 |
| 31.3g | 20cm | 0.2842 | 0.2412 | 17.82% | 0.001 |
| 54.8g | 0cm | 0.3510 | 0.3172 | 10.65% | 0.006 |
| 54.8g | 5cm | 0.3426 | 0.2989 | 14.62% | 0.005 |
| 54.8g | 10cm | 0.3182 | 0.2800 | 13.64% | 0.002 |
| 54.8g | 15cm | 0.2966 | 0.2599 | 14.12% | 0.017 |
| 54.8g | 20cm | 0.2866 | 0.2366 | 21.13% | 0.007 |
undefined [표 1] 질량, 초기 위치에 따른 $\Delta t$ 이론값과 실측값 비교
[표 1]에서 프레임 숫자를 세어 계산된 $\Delta t$ 실측값이 이론값보다 크게 나온 것을 확인할 수 있다. 이는 마찰에 의한 손실을 고려하지 않아 생긴 오차로 이를 고려하면 시간 간격이 더 커지는 효과를 확인할 수 있다. 이는 오차 분석 파트에서 더 자세히 설명할 것이다.
2.3.3 원형 트랙 회전을 위한 $h_{min}$ 구하기
$h_{min}$ 의 이론 값은 시작점에서의 퍼텐셜 에너지와 원형 궤도에서의 역학적 에너지가 동일하다는 식과 중력이 구심력을 한다는 식을 연립하여 구할 수 있고, 이는 다음과 같다.
\[h_{min}=R_{eff}(\frac{5}{2}+\frac{r^{2}}{5r_{eff}^{2}})\tag{15}\]이를 31.3g 과 54.8g 구슬에 대해 구한 $h_{min}$값은 $h_{min, 31.3}=35.11cm$, $h_{min, 54.8}=33.90cm$라는 이론값을 얻을 수 있었다. 또한 Tracker 프로그램을 통해 분석한 구슬의 궤적 그래프는 [그림 16~17]과 같다.
[그림 17, 18] 31.3, 54.8g 구슬의 낙하 궤적
낙하 궤적에서 초기위치 0, 5, 10, 15, 20, 30cm는 각각 노랑, 초록, 파랑, 빨강, 보라, 갈색 마커로 표시되었다. [그림 17, 18]을 통해 31.3g의 경우는 20cm($h_{min}≈48.4cm$), 54.8g의 경우는 20~30cm ($h_{min}≈44.1cm$)의 초기위치에서 낙하하였을 때 원형궤도의 꼭대기에서 떨어졌음을 알 수 있다.
낙하 궤적을 통해 추정된 $h_{min}$값과 이론 값의 비교는 아래 [표 3]과 같다.
| 질량 | 실험값 $h_{min}$(cm) | 이론값 $h_{min}$(cm) | 오차율 |
|---|---|---|---|
| 31.3g | 48.4 | 35.11 | 27.4% |
| 54.8g | 44.1 | 33.90 | 30.0% |
undefined [표 3] 31.3, 54.8g 구슬의 낙하 궤적
[표 3]의 결과를 통해 실험적으로 도출된 최소 높이가 이론값에 비해 더 큰, 즉 양의 편차를 갖는 결과를 보였음을 알 수 있다. 그 원인을 분석해보면 마찰이나 다른 요인으로 인한 역학적 에너지 손실로 인해 원형 궤도의 꼭대기에서 궤도를 이탈하지 않을 수 있는 최소 속력을 유지하기 위한 값보다 더 큰 역학적 에너지 초기값이 필요했기 때문이라 유추할 수 있다.
2.3.4 마찰에 의한 역학적에너지 감소 측정
최소 높이보다 낮은 높이에서 낙하하는 물체의 마찰에 의한 역학적 에너지 감소량을 정량적으로 추정하기 위해 구슬이 올라오는 최고 높이를 통해 원형 궤도를 운동한 각도를 구하고 이를 분석하였다.
| 질량 | 최대 각도(degree) | 에너지 손실량(J) | 평균 $\mu_{k}$ |
|---|---|---|---|
| 31.3g | 79.7->58.5->40.5 | 1.218, 1.067 | 1.344 |
| 54.8g | 81.9->60.5->44.0 | 1.845,1.277 | 1.356 |
undefined [표 4] 31.3, 54.8g 구슬의 마찰에 의한 에너지 손실
[표 4]의 결과를 통해 실험적으로 도출된 트랙과 구슬 사이의 평균 운동마찰력은 31.3g의 경우 1.344, 54.8g의 경우 1.356의 결과값을 보였다. 두 구슬 모두 동일한 재질이므로 도출된 $\mu_{k}$는 실제 마찰계수와 거의 일치할 것으로 추론할 수 있다.
3. 실험 결론 및 논의
3.1 오차 요인 분석
3.1.1 발생 가능한 오차 요인 논의
먼저 실험 2.2.1.에서 두가지 방법으로 구한 역학적 에너지 값은 운동 전보다 운동 후에 역학적 에너지가 조금 감소하였으며, $\Delta t$는 실측값이 이론값보다 작은 결과를 확인할 수 있었다. 또한 원형 궤도에서의 최소 낙하 높이 또한 이론값보다 큰 실측값을 얻을 수 있었다. 이렇듯 이론적으로 예측된 값과 차이를 보인 이유를 설명하기 위해 원형 궤도의 입체적 구조로 인한 오차, 구름 운동과 마찰력의 관계 미고려에 의한 오차로 나누어 이를 설명하였다.
3.1.2 구름 운동과 마찰력의 관계
2.3.2.의 실험에서 시작점으로부터 5cm 떨어진 높이에서 최종점으로부터 5cm 떨어진 높이까지 이동하는 데 걸리는 시간 $\Delta t$를 구했을 때 모든 case에서 양의 오차율, 즉 실측값이 이론값에 비해 직선 궤도를 내려오는데 더 오랜 시간이 걸린다는 결과를 얻었다. 이는 앞선 (식 7)에서 마찰력에 의한 손실을 고려하지 않았기 때문이라고 볼 수 있다. 마찰에 대한 항을 고려하여 (식 7)을 다시 정리하였다.
\[E=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{5}m(\frac{r}{r_{eff}})^{2}v^{2}+mgh+f\frac{(h_{0}-h)}{\sin \theta}=mgh_{0}\tag{16}\]$v(h)=A’\sqrt{(h_{0}-h)}$ $A^{‘}=\sqrt{\frac{g}{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\left(\frac{r}{r_{eff}}\right)^{2}+\frac{f}{msin\theta}}}<A$
\[\Delta t_{exp.}=\frac{2}{A'}\frac{1}{\sin \theta}\left[\left(h-h_{2}\right)^{\frac{1}{2}}-\left(h-h_{1}\right)^{\frac{1}{2}}\right]>\Delta t\](식 16)에서 특정 높이 h에서의 역학적 에너지를 고려할 때 마찰에 의한 손실인 fs를 고려해주면, s는 높이 차이 $h_{0}-h$ 에 비례하므로, 높이에 따른 속도에서 계수에 해당하는 A’의 값이 마찰에 의한 손실을 고려하지 않은 A의 값보다 작아지게 된다. 적분을 통해 도출한 시간 차 $\Delta t$의 식에서 A는 분모 term에 대입되므로 마찰에 의한 손실을 고려한 경우의 시간 차 $\Delta t$가 더 큰 값을 갖는다는 것을 이론적으로 증명할 수 있었다. 실험 결과도 마찰을 고려하지 않은 실험값보다 큰 값을 얻었다는 점에서 마찰에 의한 에너지 손실을 고려한 앞선 (식 16)이 타당하다는 사실을 반증한다.
추가적으로 앞선 이론적 배경에서 마찰에 의한 에너지 손실을 고려하지 않으면서, 동시에 회전에 의한 관성 모멘트를 고려하는 것은 실제 물리 법칙에 어긋나는 가정이다. 어떠한 물체가 경사가 있는 궤도를 구르는 구름 운동을 할 때 마찰력이 필연적으로 작용하여야지만 물체가 미끄러지지 않고 구를 수 있기 때문에, 마찰을 고려해야만 더 완전하게 운동과 역학적 에너지를 기술할 수 있을 것이다. 또한 계산의 편의성을 위해 구슬이 미끄러지지 않고 완벽히 구른다는 가정을 하였는데, 실제 구슬은 미끄러지는 운동과 구르는 운동을 동시에 하며 트랙을 내려오게 되므로, 이 과정에서 분배되는 에너지의 비율을 알 수 있다면 좀더 정확한 $\Delta t$값을 알아낼 수 있을 것으로 추측된다.
3.1.3 원형 궤도의 입체적 구조
실험에서 사용된 원형 궤도의 경우 완벽한 원형 트랙, 즉 원운동을 한 뒤 다시 원래의 위치로 돌아오는 궤도가 아니라 원운동을 하여 한바퀴 돈 뒤 바로 옆의 평행한 트랙으로 이동하는 입체적인 트랙이다. 이론적으로 원형 궤도에서 운동하는 물체에 대해 2차원적인 트랙으로 근사하여 고려하였으며, 카메라 촬영 시 카메라의 방향이 트랙의 절단면과 일치한다 하더라도 원형 궤도의 구조적 특성으로 인해 원형 궤도면이 촬영 방향과 특정 각을 이루게 된다. 이로 인해 직선 궤도가 아닌 원형 궤도를 움직이는 구슬이 멀어지는 효과로 인해 $h_{min}$이 기존 예측값보다 양의 방향의 편차가 생겼을 것으로 예측할 수 있다.
4. 결론
본 실험에서는 원형과 직선 궤도를 통해 이동하는 구슬의 운동에너지와 퍼텐셜 에너지를 마찰과 구름 운동을 고려하여 역학적 에너지가 보존된다는 사실을 확인하는 실험이다. 직선 트랙에서의 역학적 에너지 보존의 경우 이웃한 두 프레임의 y축 변위를 이용하여 구한 역학적 에너지가 시간에 따라 거의 일정한 값을 갖는다는 사실을 정성적으로 증명하여 역학적 에너지 보존법칙을 증명하였으며, 특정한 두 높이를 지나는데 걸리는 시간간격을 측정하고 이를 이론값과 비교하는 과정을 통하여 정성적으로도 역학적 에너지 보존법칙을 증명하였다. 시간에 따라 역학적 에너지가 점차 감소하는 것은 마찰과 다른 요인에 의한 에너지 손실을 의미한다. 두번째로 원형 궤도의 꼭대기에서 트랙을 벗어나지 않을 최소 높이 $h_{min}$을 앞선 실험에서의 역학적 에너지가 보존된다는 결과와, 수직항력 N=0인 상태에서 중력이 구심력의 역할을 한다는 운동방정식을 연립하여 구해낼 수 있었다. 이렇게 구한 최소 높이 $h_{min}$은 31.3g의 경우 48.4cm, 54.8g의 경우 44.1cm로 31.3g의 이론값 35.11cm, 54.8cm의 이론값 33.9cm보다 크게 도출되었는데, 이 또한 마찰과 소리 등의 기타 요인으로 인한 에너지의 손실에서 기인한 것이다. 마지막으로 최소 높이 아래에서 원형 궤도를 왕복하는 구슬의 역학적 에너지 차이를 이용하여 마찰에 의해 손실되는 에너지를 정량적으로 구하고 역산을 통해 구슬과 트랙간의 운동마찰계수$\mu_{k}=1.344$를 구할 수 있었다.
고찰을 통해 실험 오차를 크게 마찰력에 대한 미고려, 원형궤도의 입체적 구조 라는 두가지 요인으로 보았는데, 물체가 구름 운동을 한다면 무조건 마찰력은 존재해야 하며, 앞선 실험 2.3.1.에서 역학적 에너지가 시간에 따라 점차 감소하는 양상을 띈다는 점과, 2.3.2.에서 마찰에 의한 에너지 손실을 고려하지 않은 이론값보다 실측값이 더 크다는 점이 마찰력 고려에 대한 필요성을 함축하고 있다. 또한, 원형 궤도가 평면이 아닌 입체적 구조를 하고 있기에 정확한 속도와 x, y축 변위가 측정되지 않은 점 또한 부정확한 결과값 도출에 일조하였을 것으로 예상된다.
5. 참고 문헌
[1] 증명 - Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014)
6. 부록
6.1 그래프의 도출 과정
아래 모든 시간에 따른 역학적 에너지 그래프에서 역학적 에너지는 (식 12)에서 도출된 운동에너지와 위치에너지의 합이며, 단위는 Joule($kg\cdot m^{2}s^{-2}$)이며, 시간은 초(second)단위이다. 또한 1~5번 case의 marker를 동일한 그래프에 도시하게 되면 그래프 간 색이 섞여 개형을 알아보기 어려우므로, 임의로 선정된 한 case의 초기 역학적 에너지를 0으로 하고 나머지 실험 case에 $±0.2, ±0.4$J을 더하여 평행이동시키는 방법으로 그래프의 시각화를 처리하였다. 또한, 구슬이 출발한지 0.4~0.5초 이후에는 구슬이 원형궤도를 돌기 시작하므로 y축 속도를 이용한 기존의 운동 에너지 계산식이 성립하지 않게 된다. 즉 역학적 에너지의 보존 여부는 그래프의 t=0~0.4초 가량을 통해 알 수 있으며, 1차식으로 추세선을 그릴 때에도 앞서 언급한 부분의 데이터만을 사용하여 추세선을 도출하였다.
6.2 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
[그림 5] 31.3g 구슬의 시작지점 0cm의 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
[그림 6] 31.3g 구슬의 시작지점 5cm의 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
[그림 7] 31.3g 구슬의 시작지점 10cm의 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
[그림 8] 31.3g 구슬의 시작지점 15cm의 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
[그림 9] 31.3g 구슬의 시작지점 20cm의 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
[그림 10] 54.8g 구슬의 시작지점 0cm의 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
[그림 11] 54.8g 구슬의 시작지점 5cm의 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
[그림 12] 54.8g 구슬의 시작지점 10cm의 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
[그림 13] 54.8g 구슬의 시작지점 15cm의 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
[그림 14] 54.8g 구슬의 시작지점 20cm의 시간에 따른 역학적 에너지 그래프
6.3 $\Delta t$ 의 도출 과정
먼저 $\Delta t$의 이론값을 구하기 위해 (식 9)에 상수값을 대입해보자.
[그림 16] 초기 위치에 따른 높이 그래프
구슬이 가장 아래로 내려왔을 때를 기준점(높이 0cm)로 하고, 초기 위치에 따른 초기 높이를 각각 h=(71-8.5), (67.5-8.5), (64-8.5), (60.5-8.5), (56.9-8.5), (49.8-8.5) cm로 하고, 초기 높이보다 5cm 아래를 $h_{1}$, 기준점보다 5cm 높은 점을 $h_{2}$로 하고 계산하였다. (식 8)에서 제시된 A값을 구하기 위해 31.3g 구슬의 경우 $r_{eff, 1}$=1.32cm, $r_{eff,2}$=1.64cm를 이용하여 $A_{1}=3.5048$, $A_{2}=3.5724$ 구하고, 최종적으로 $\theta=\frac{\pi}{4}$를 대입하여 아래 [표 2]에 해당하는 $\Delta t$ 이론값을 도출하였다.
| 0cm | 5cm | 10cm | 15cm | 20cm | 30cm | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 31.3g | 0.4314 | 0.4124 | 0.3930 | 0.3728 | 0.3511 | 0.3057 |
| 54.8g | 0.4232 | 0.4046 | 0.3856 | 0.3657 | 0.3445 | 0.3000 |
undefined [표 2] 질량과 초기 위치에 따른 $\Delta t$ 이론값