1. 서론

1.1 실험 목적

전위, 혹은 전기 퍼텐셜이란, 어떠한 위치에 단위 전하를 배치하였을 때 이 전하가 가지게 되는 전기적 위치 에너지를 의미한다. 이는 중력에 대한 퍼텐셜인 위치에너지와 같이 전기력에 대한 퍼텐셜을 의미한다. 등(等)고도, 즉 해수면으로부터의 최단 거리인 고도가 같은 점들을 이으면 중력퍼텐셜 에너지가 같은 등고선이 그려지는 것처럼, 3차원 좌표 공간에 펼쳐져 있는 전위들을 ‘등전위선’이라는 동일한 전위인 지점들을 연결한 가상의 선(혹은 면)을 그려 나타내면 전위의 분포를 이해하기에 훨씬 수월하다. 이번 실험에서는 도체 판에 두 개의 전극을 놓고, 전극 사이에 전위차를 가하여 실험 판 위에서 어떠한 전위의 분포가 나타나는지를 등전위선을 그려 알아볼 것이다. 이를 통해 등전위선이 어떠한 기하학적 형상을 하고, 대칭성을 보이는지 확인한다. 또한 3차원 좌표공간 속 등전위면(전위가 같은 점들의 집합)은 물리적으로 어떠한 성질을 갖는지 알아보고 추상적 개념인 전기력선과 등전위선이 어떠한 관계에 있는지 고찰해 본다.

1.2 이론적 배경

1.2.1 전기장, 전위의 정의와 그 관계

전하를 띄고 있는 두 물체는 띄고 있는 전하의 부호에 따라 서로 끌어당기거나 밀어내는 전기력을 받게 된다. 이러한 전기력에 대한 개념을 확장하여 특정 위치에 전하를 배치하였을 때 어떤 방향으로 어떤 크기의 힘을 받게 되는지를 기술하는 것이 바로 전기장이다. 이는 (x, y, z)의 좌표(극좌표계라면 (r, θ, φ) )를 받아 크기와 방향을 가진 하나의 벡터에 대응시켜주는 벡터장으로 해석할 수 있다. 전기장은 1C의 전하를 해당 위치에 놓았을 때 해당 전하가 받는 힘의 크기와 방향을 나타낸 것으로, 전기력은 전기장과 동일한 방향이고 크기는 $|\vec{E}|$에 해당 물체의 전하량을 곱해준 것과 같다.

\[\vec{F}=q\vec{E}\tag{1}\]

전기장 속 전하를 띈 입자는 힘을 받게 되므로, 등속으로 (운동 에너지의 변화 없이) 입자를 운동시키려면 전기장에 의한 전기력과 반대되는 방향의, 동일한 크기의 힘을 가하여 일을 해주어야 한다. 등속도로 전하를 움직이기 위해 가해야 하는 단위시간당 일을 두 지점 사이의 전위차로 정의하며, 이는 다음과 같은 적분 식으로 표현된다.

\[\Delta V=V_{2}-V_{1}=-\int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{E}\cdot d\vec{r}**[1]**\tag{2}\]

특정 위치의 기준 전위를 알고 있다면 식 (2)를 통해 각 위치에 대한 전위차를 구할 수 있으며, 등전위면 내부의 임의의 두 점에 대해 전위차가 0이므로 등전위면의 각 지점에서의 전기장의 방향은 등전위면에 수직이다. 이는 전기장이 전위의 gradient, 즉 공간에서의 기울기가 된다는 것을 통해 직관적으로 알 수 있는데, 이 때 등고면의 각 점에서의 법선벡터가 전기장의 방향이 된다.

1.2.2 등전위선과 전기력선

전기력선이란 전기장을 시각적으로 표현하기 위해 나타낸 선으로, 전기장의 여러 성질을 모두 만족시키기 위해 다음과 같은 모종의 규칙을 따른다.

1. (+) 전하에서 시작하여 (-) 전하에서 끝나거나, 무한대에서 시작하여 끝난다.
2. 전기력선의 개수는 전하량에 비례하여 그리며, 도체 표면에서 수직으로 시작되거나 끝난다.
3. 전기력선은 서로 교차되거나 분리되지 않는다.

이러한 방법으로 전기력선을 그리게 되면, 아래와 같은 그림을 얻을 수 있으며, (a)는 균일한 전기장에서, (b)는 (+)전하 하나가 전기장을 만드는 경우, (c)는 전하량의 크기는 같지만 부호가 다른 두 점전하 사이의 전기력선을 나타낸 것이다.

[그림 1] 여러 가지 경우의 전기력선과 등전위선i

[그림 1]을 통해 1.2.1.에서 알아본 것과 같이 등전위선과 전기력선은 항상 수직이라는 사실을 알 수 있다.

2. 실험 내용

2.1 실험 장비

등전위선 장치(탐침 1개, 원형 전극과 막대 전극 각각 2개), 컴퓨터, 데이터 저장용 USB

2.2 실험 방법

2.2.1 원형 전극을 배치한 경우의 등전위선

1. 등전위선 장치를 컴퓨터에 연결하고, 좌우 고정 나사에 원형 전극을 고정시킨다. 이후 전원을 연결하여 전극 사이에 전위차를 만든 후, 센서 스위치를 켠다.
2. Desktop/physlab/등전위선 폴더의 프로그램을 실행하여 분석을 진행한다.
3. 실험판과 탐침이 접촉할 경우 프로그램의 포인터에 탐침의 위치가 표시되며, 우측 하단에 전위차가 표시된다. 이때 전위 측정 결과가 나오지 않을 경우 Calibration – Set comm Port 를 선택하여 포트를 변경해본다.
4. 영점 조절을 위해 전위차가 0으로 표시되는 지점을 탐침으로 찾은 다음, Calibration – Zero Point Adjust 버튼을 눌러 상하좌우 버튼을 통해 기준 좌표를 조절해준다.
5. 탐침을 이동하며 전위를 조사하고, 전위차가 특정 값일 때 표시하는 기능으로 등전위선을 그려본다.

2.2.2 막대 전극을 배치한 경우의 등전위선

위의 2.2.1. 실험과 동일한 방법으로 실험을 진행하되, 원형 전극 중 우측 전극을 막대 전극으로 바꾸어 수평 혹은 수직 방향으로 배치하여 2)~5)를 반복하고, 이 때의 등전위선의 분포를 파악한다.

2.2.3 등전위선에 관한 정량적 분석

현재 실험 장치의 상태를 이론적인 모델로 치환하면, 원형 전극을 전하가 대전되어 있는 도체 구로 치환할 수 있다. 이 때 원형 전극의 중심을 구의 중심으로 하고, 전극의 크기를 지름으로 하며 양쪽이 +Q, -Q의 임의의 전하량을 갖도록 설정할 수 있다. 만일 원형 전극을 크기가 없는 점전하로 간주하고 전위를 계산하게 되면 원형전극의 중심에서는 기준전위가 아닌 무한대의 전위가 나타나야 하므로 반지름이 있는 도체 구로 원형 전극을 간주하고, 도체 구의 표면의 전위가 바로 기준전위라고 가정하게 되면 이론과 실제가 부합하게 된다. 물론 실험에서는 x-y 평면으로 잘린 2차원 단면만을 보게 되므로 원형 전극을 구형의 단면인 원형 도체로 간주하게 된다.

[그림 2] 크기가 없는 점전하로 가정시 일어나는 일ii

[그림 3] (좌측) 도체 구의 r에 따른 전위(b)와 전기장(c) i

[그림 4] (우측) 균일하게 대전된 도체판에서 가우스 법칙 적용i

[그림 3]을 통해 도체 내부와 그 표면에서는 일정한 전위를 가지며, 도체 내부의 전기장의 크기는 0이라는 사실을 알 수 있다. 이는 가우스 법칙을 적용하여 확인할 수 있다.

막대 전극의 경우에는 전하가 대전된 2차원 도체 막대로 간략화할 수 있다. 이 때에는 길이당 대전된 전하량을 나타내는 λ, 선전하밀도를 이용하여 대전된 막대의 전하량을 표현할 수 있다.

도체 내부에서 실제로 전기장이 0이 되지 않는 점, 원형 전극을 전하가 대전된 구형 도체로 가정하면서 생기는 물리적 모순들에 의해 이론적 예측과 실제 실험값은 다소 오차가 있을 수 있다. 그러나 이러한 오차들은 등전위선을 정량적으로 분석하는데 큰 차질을 일으키지 않기에, 앞서 설정한 가설을 바탕으로 정량적 분석을 시행하기로 하고, 오차 요인들은 차후에 Discussion에서 다루기로 하자.

2.3 실험 결과 및 분석

2.3.1 원형-원형일 때의 등전위선 (정성적 분석)

[그림 5] 원형-원형 전극에서의 등전위선(기준전압:1.077V)

(unit - x,y축: mm, 등전위선 간격: 0.2Volt)

[그림 5]에서 X축과 Y축으로 기하학적 대칭을 이루고 있는 것을 확인할 수 있으며, 등전위선의 형태가 이심률이 각기 다른 이차곡선의 형태를 하고 있다. 전극의 끝부분에 가까이 갈수록 등전위선이 원형에 가까워지며 이심률이 작아지고, 원점에 가까워질수록 등전위선의 형태가 점차 포물선, 쌍곡선의 형태로 이심률이 커진다.

2.3.2 원형-원형일 때의 등전위선 모델 (가설설정)

2.2.3.의 이론적 배경을 적용하면, 원형 전극의 경우 반지름 R, 전하량 $±$Q로 대전된 원형 도체로 생각할 수 있으며, 등전위선 실험장치의 설명서를 통해 원형도체의 반지름을 R=10mm 임을 알 수 있었다. 이때 원형 도체의 외부에서의 전위는 원형 도체로부터 떨어진 거리에 반비례하므로, 다음과 같은 식을 세울 수 있다.

\[\begin{aligned} V_{+}\left(r_{+}\right)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}r_{+}} \\ V_{-}\left(r_{-}\right)= \frac{-Q}{4\pi\epsilon_{0}r_{-}}\tag{4} \\ 이 때 V_{+}는 (+) 전극에 의한 전위, r_{+}는 전위를 측정하고자 하는 위치로부터 (+) 전극까지의 거리이다. 해당 위치에서의 전위는 중첩의 법칙에 의해 식과 식 (4)의 산술적 합이 된다. 즉 특정 위치에서의 전위는 다음과 같이 표현된다.\tag{3} \\ V= V_{+}\left(r_{+}\right) +V_{-}\left(r_{-}\right)= \frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}})\tag{5} \end{aligned}\tag{3}\]

또한 원형 전극의 표면 전위는 기준전압과 동일하다는 가정을 하였으므로, 미지의 상수인 $\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}$를 결정하기 위해 $r_{+}=10mm, r_{-}=190mm$를 대입하면,

\[\begin{aligned} 1.077[V]=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}(\frac{1}{10^{-2}}-\frac{1}{1.9\times 10^{-1}})[m] \\ \frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}=0.01136 [Vm^{-1}]\tag{7} \end{aligned}\tag{6}\]

해당 상수를 대략적으로 추정할 수 있으며, 이를 이용해 구한 임의의 (x[m], y[m]) 좌표에서의 전위 예측값은 다음과 같다.

\[V= 0.01136\left(\frac{1}{\sqrt{\left(x+0.1\right)^{2}+y^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{\left(x-0.1\right)^{2}+y^{2}}}\right)[V]\tag{7}\]

식 (7)을 이용하여 0.2V 간격으로 측정된 등전위선의 각 점의 좌표를 대입하여 이론값에 부합하는지 확인하였다.

2.3.3 원형-원형일 때의 등전위선 (정량적 분석)

[그림 6] 실측값과 예측값의 비교 그래프

(unit - x,y축: mm, z축: Volt)

[그림 6]에서 x축, y축 좌표에 따라 z축 높이인 전위가 표시되어 있다. 이를 관찰해 보면 대부분의 등전위선의 위치와 예측되는 3차원 전위 곡선이 일치한다는 사실을 확인할 수 있다. 2.3.2의 이론적인 전위 분포와 실제 실험값이 일치함을 알 수 있다. [그림 6]만을 보고 판단하는 데에는 무리가 있으므로, 예측값에서 실측값을 뺀 차이를 그래프로 그려보았다. 이 때 전극에 근접함에 따라 오차의 정도에 차이가 있을 것으로 보고 전위차를 기준으로 분리하여 예측값-실측값 그래프를 그려 보았다. 2.3.1.에서는 두 원형 전극을 사용하여 기하학적으로 Y축 대칭임이 자명하므로, 전위차의 절댓값을 이용하였다.

[그림 7~11] X값에 따른 예측값-실측값 산포도

(각각

V

= 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8V)

[그림 12] Y값에 따른 예측값-실측값 산포도(

V

= 0.2V)

[그림 7-11]을 살펴보면, 전위차가 0V에서 0.2V 간격으로 늘어남에 따라 오차, 즉 예측값과 실제 전압의 차이 또한 작지만 일정한 비율로 늘어난다는 사실을 알 수 있다. 또한 X좌표가 음수일 때 예측값-실측값이 음수라는 점에서 2.3.2의 모델을 통해 예측된 평면보다 실제 등전위선으로 알 수 있는 전위 평면이 더 가파르다는 사실을 알 수 있다. 또한 [그림12]를 통해 0.2V에서의 Y축을 기준으로 그린 산포도를 보면, 해당 오차가 쌍곡선을 그리며 나타나고 있으며 이는 [그림 5]의 등전위선의 형상과 동일함을 알 수 있다. 마지막으로 0.8V에서의 산포도를 보면 거의 오차가 발생하지 않았음을 알 수 있다.

정량적 분석을 통해 얻은 결과를 정리해보면, 2.3.2의 모델과 실제 등전위선을 비교하였을 때 전위차가 0V인 등전위선과 원형전극에 매우 근접한 0.8V 등전위선에서는 모델과 일치하였으나, 0.2~0.6V 등전위선에서는 균일한 정도의 오차를 보였다. 즉 앞서 세운 전위의 분포인 식 (7)에 다소 수정이 필요하다는 결론을 내릴 수 있다. 다만, 전체적으로 오차의 표준편차의 범위가 0.3V 내외인 것으로 보아 2.3.2의 모델이 전위를 개략적으로 설명하고 있다고 볼 수 있다.

2.3.4 원형-막대(수직)인 경우의 등전위선 (정성)

[그림 13] 원형-수직막대에서의 등전위선(기준전압:1.148V)

(unit - x,y축: mm, 등전위선 간격: 0.2Volt)

수직 막대에서의 등전위선의 경우 수직 막대를 전하가 대전된 평판으로 근사할 수 있기 때문에, -30$≤$y$≤$30 의 범위에서는 등전위선이 거의 직선 형태로 나타난다는 사실을 알 수 있다. 좌측의 양극의 경우는 2.3.1에서의 원형-원형의 경우와 비슷한 모양이 나타났으며, 여전히 X축 대칭성은 유지하고 있는 것을 알 수 있다. 또한 원형 전극에서는 0.6V 등전위선까지 나타났으나, 막대 전극에서는 0.4V 등전위선까지만 관찰되었다는 것이 앞선 원형-원형전극 실험과의 차이점이다.

2.3.5 원형-막대(수직)인 경우의 등전위선 모델

2.2.3.의 가정에 따라 원형 전극을 원형 도체로 간주하되, 막대 전극의 경우 원형전극과 동일한 전하를 가졌으나, 도체 표면에 균일한 선전하밀도($\lambda=\frac{Q}{2h}$)로 전하가 분포된 막대형 도체로 간주할 수 있다.

이러한 가정을 통해 좌표 x,y에 따라 다음과 같은 전위 분포에 대한 식을 얻을 수 있다.

\[\begin{aligned} V= \frac{0.01136}{\sqrt{\left(x+0.1\right)^{2}+y^{2}}} \\ +0.01136\times 5\times \left{\begin{aligned}ln\left(1+\frac{0.05-y}{\sqrt{\left(0.05-y\right)^{2}+\left(x-0.1\right)^{2}}}\right) \\ -ln\left(1-\frac{0.05-y}{\sqrt{\left(0.05-y\right)^{2}+\left(x-0.1\right)^{2}}}\right) \\ -ln\left(1+\frac{0.05+y}{\sqrt{\left(0.05+y\right)^{2}+\left(x-0.1\right)^{2}}}\right) \\ +ln⁡(1-\frac{0.05+y}{\sqrt{(0.05+y)^{2}+(x-0.1)^{2}}})\end{aligned}\right}[V] \end{aligned}\tag{8}\]

이를 바탕으로 3차원 전위 분포를 그려 실험값과 비교해 보았다.

2.3.6 원형-수직막대의 등전위선 (정량적 분석)

[그림 14] 실측값과 예측값의 비교 그래프

(unit - x,y축: mm, z축: Volt)

[그림 14]를 통해 실측값과 이론값이 상당히 일치하는 것을 알 수 있다. 0.2V 간격의 전위차 별로 데이터를 분리하여 실제로 어느 정도의 차이가 존재하는지를 그래프로 파악하였다.

[그림 15~20] X값에 따른 예측값-실측값 산포도

(각각

V

= 0, 0.2, -0.2, 0.4, -0.4, 0.6V)

원형과 수직 막대의 경우에도 앞선 원형-원형 전극의 경우와 동일하게 전위차의 절댓값이 커질수록 오차율 또한 커졌다. 또한 식 (8)에 의한 기울기보다 실제 전위면의 기울기가 더 가팔랐다. 또한 원형 전극과 가까운 부분의 등전위선 데이터는 선형적인 산포를 보이는 반면에([그림 15, 17, 19]), 직선 전극과 가까운 부분의 데이터는 U자 형태의 산포를 보였다([그림 16, 28, 20]).

2.3.7 원형-막대(수평)인 경우의 등전위선 (정성)

[그림 21] 원형-수평막대에서의 등전위선(기준전압:1.240V)

(unit - x,y축: mm, 등전위선 간격: 0.2Volt)

원형 전극과 수평 막대 전극 실험에서 원형전극의 경우는 앞선 실험에서의 등전위선 분포와 동일하였다. 그러나 수평 막대 전극에서 등전위선이 막대 전체를 감싸는 형태가 되는 것이 아니라 사선으로 형성된 것을 볼 수 있다. 또한 전위차가 0V인 등전위선 또한 오른쪽으로 기울어진 것을 알 수 있다. 이는 막대 전극의 표면에서 전위가 모두 일정하지 않으며, 막대 전극의 뾰족한 모서리가 이와 같은 형상을 만들었음을 시사한다.

2.3.8 원형-막대(수평)인 경우의 등전위선 모델

2.3.5에서와 동일하게 원형 전극은 원형 도체로, 막대형 전극은 $\lambda=\frac{Q}{2h}$인 막대형 도체로 간주할 수 있으며, 이러한 가정을 통해 좌표 x,y에 따라 다음과 같은 전위 분포에 대한 식을 얻을 수 있다.

\[\begin{aligned} V= \frac{0.01136}{\sqrt{\left(x+0.1\right)^{2}+y^{2}}} \\ +0.01136\times 5\times \left{\begin{aligned}ln\left(1+\frac{x-0.05}{\sqrt{\left(x-0.05\right)^{2}+y^{2}}}\right) \\ -ln\left(1-\frac{x-0.05}{\sqrt{\left(x-0.05\right)^{2}+y^{2}}}\right) \\ -ln\left(1+\frac{x-0.15}{\sqrt{\left(x-0.15\right)^{2}+y^{2}}}\right) \\ +ln⁡(1-\frac{x-0.15}{\sqrt{(x-0.15)^{2}+y^{2}}})\end{aligned}\right}[V] \end{aligned}\tag{9}\]

이를 바탕으로 3차원 전위 분포를 그려 실험값과 비교해 보았다.

2.3.9 원형-수평막대의 등전위선 (정량적 분석)

[그림 22] 실측값과 예측값의 비교 그래프

(unit - x,y축: mm, z축: Volt)

[그림 22]를 통해 실측값과 이론값이 상당히 일치하는 것을 알 수 있다. 0.2V 간격의 전위차 별로 데이터를 분리하여 실제로 어느 정도의 차이가 존재하는지를 그래프로 파악하였다.

[그림 23~28] X값에 따른 예측값-실측값 산포도

(각각

V

= 0, 0.2, -0.2, 0.4, -0.4, 0.6V)

원형과 수평 막대 실험에서도 앞선 경우와 동일하게 전위차의 절댓값이 커질수록 오차율 또한 커지는 경향이 있었으며, 식 (9)에 의한 기울기보다 실제 전위면의 기울기가 더 가팔랐다. 앞선 실험들과의 차이점을 꼽자면 [그림 23-28]의 개형이 상당히 직선형태로 바뀌었다는 점이다. 또한 -0.4V와 0.6V의 경우는 상당히 특이한 산포를 보이고 있다.

3. 실험 논의

3.1 등전위선 실험의 오차 원인 분석

3.1.1 예측 전위 설정 시 전제의 오류

등전위선 실험의 정량적 분석을 위해 전위의 예측값을 설정하는 과정에서 원형 전극을 대전된 구형 도체로 가정하였으며, 막대 전극은 편의상 균일하게 전하가 대전된 평판으로 간주하였다. 이러한 전제조건들은 실제 상황과는 확연히 차이가 있으며, 실제 상황과 전제조건의 차이가 만들어낸 오차들을 살펴볼 것이다.

첫번째로, 원형 전극을 구형 도체로 가정하면서 전극으로부터 r만큼 떨어진 곳의 전위가 $V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r}$ 을 만족한다는 가정에서 오류가 존재한다. 실제 상황에서 전극에 전위차가 생긴다는 것은 실제로 해당 위치에 점전하가 존재해서가 아니라 전기 회로로 인하여 전위가 형성되는 것을 의미한다. 해당 위치에 전위차만 존재하는 것과 실제로 점전하가 존재하는 것은 동일하지 않다. 전하가 있는 점전하로 가정하게 된다면 점전하가 위치하는 해당 위치의 전위는 표현할 수 없기 때문이다. 이러한 이론과 실제의 괴리를 보완하기 위해 이번 실험에서는 크기가 있는 원형 도체로 가정하고 원형 도체의 표면, 즉 원주의 전위가 실험에서의 기준전위와 같다는 가정을 하였는데, 이 또한 잘못되었다. 이러한 가정을 하고 앞서 거리 r에 따른 전위 가정을 중복으로 적용하게 된다면, 원형 도체 표면에서의 전위가 반대쪽 전극의 전위의 영향을 받게 되므로 원래의 가정에서 어긋난다. 즉 도체의 표면에서는 모두 전위가 동일해야 한다는 가정에 모순이 생긴 것이다. 또한, 실제로 전하가 금속에 존재한다고 가정하면 양극과 음극의 전기적 인력에 의해 전하의 쏠림 현상이 일어난다. 이 또한 실제 실험 상황에서는 고려하지 않아도 될 문제로 실제 상황과 이론적 모델간의 괴리를 유발하는 요인이 될 수 있다.

3.1.2 도체 판에대한 새로운 가설 제시

등전위선 실험 모형을 이론적인 모형으로 추상화함에 있어서 전극의 전위를 점전하나 크기가 있는 전하로 치환하는 것은 일정 부분 오류가 있다는 결론을 내릴 수 밖에 없다. 실험의 상황과 정확히 부합하는 이론적 모델을 찾아본 결과 다음과 같은 무한 그물형 저항 상황과 실험의 상황이 일치한다는 사실을 알 수 있었다.

[그림 29] 무한 그물 저항에서 합성저항을 구하는 문제2

[그림 29]에서 무한 그물 저항은 실제 실험에서 도체 판과 동일한 역할을 한다. 실험에서 양극과 음극에 도선을 연결하여 전위차를 부여한다는 점과, 실제로 도체 판도 저항이 존재하기 때문에 도체 판을 통해 전압강하가 일어난다는 점에서, 위 상황이 실험에서의 상황과 어느정도 부합한다는 사실을 알 수 있다. 실제 상황과 더 완벽히 부합하려면 무한저항 그물이 조금더 촘촘해야 할 것이며, 하나하나의 비저항이 실제 도체판의 비저항과 일치해야 할 것이다.

이러한 새로운 모델을 제시하여 얻고자 하는 것, 즉 새로운 모델의 의의는 다음과 같다. 양쪽 극에 기준전위가 가해져 도체 판을 통해 전위의 분포를 확인할 수 있는 상대적으로 추상적이고 분석하기 어려운 모델을, 전기 회로라는 상대적으로 분석하기 더 간단한 모델로 치환하여 나타낼 수 있다는 장점이 있다. 해당 모델에서 등전위선을 구하기 위해서는 무한 그물저항에서 동일한 전압강하가 일어난 격자의 지점을 모두 구하면 된다. 이는 전기저항에서 중첩의 원리와 푸리에 변환을 통해 구할 수 있다.

3.1.3 기타 오차 요인

먼저 실험기기의 노후화와, 프로브 도선 자체의 저항으로 인해 정확한 전위를 구하지 못하는 점, 프로브 자체의 위치 부정확성 등의 오류가 등전위선의 오차 요인으로 작용하였을 것이다. 추가로 발견한 오차로는, [그림 6]의 좌측 원형 전극에서 알 수 있듯이 이론적으로는 x축 대칭이어야 하는 등전위선이 비대칭을 이루고 있는 것을 알 수 있다. 영점을 맞추었음에도 불구하고 이러한 비대칭성이 관찰되는 것은, 프로브 자체의 오류이거나 우측의 막대 전극의 표면이 균등한 전위가 아니기에 발생하는 오차로 추정할 수 있다. 위와 같은 오차 요인들은 실험 기구의 개선, 더 높은 정밀도의 측정 방법의 고안 등으로 개선할 수 있을 것으로 보인다.

3.2 실험별 전위 가설에 대한 설명

[그림 6], [그림 14], [그림 22]의 ‘예측된 전위 평면’그래프는 식 (7~9)를 (x,y,v) 평면에 도시한 것으로 앞선 2.2.3에서의 몇가지 가정사항을 바탕으로 도출된 것이다. 실제로 실험을 통해 얻어낸 등전위선 데이터와 비교한 결과 전체적인 경향성에서는 일치하였으나, 0.2~0.6V 사이의 중간 지점에서는 일관되게 실측값의 절댓값이 예측값의 절댓값보다 크다는 것을 알 수 있었다. 이는 식(7~9)의 전제조건이 전극의 표면이 기준전위와 동일하다는 가정에서 출발하였기 때문에 기하학적 대칭성을 만족하는 0V와 기준 전위 근처에서는 식이 잘 부합하고 그렇지 않은 부분에서는 식이 잘 맞지 않는 것으로 이해할 수 있다.

	0.0V	0.2V	0.4V	0.6V	0.8V
평균(mean)	0.001	-0.008	-0.035	-0.064	-0.122
표준편차(std)	0.038	0.156	0.293	0.363	0.306

undefined [표 1] 그림 7~11의 오차에 대한 통계량(unit : Volt)

	-0.4V	-0.2V	0.0V	0.2V	0.4V	0.6V
평균(mean)	0.247	0.143	-0.005	-0.136	-0.248	-0.176
표준편차(std)	0.066	0.018	0.005	0.017	0.055	0.180

undefined [표 2] 그림 15-20의 오차에 대한 통계량(unit : Volt)

	-0.4V	-0.2V	0.0V	0.2V	0.4V	0.6V
평균(mean)	0.209	0.137	-0.005	-0.153	-0.3	-0.27
표준편차(std)	0.117	0.008	0.004	0.009	0.032	0.049

undefined [표 3] 그림 23-28의 오차에 대한 통계량(unit : Volt)

위의 표를 통해 이론적으로 계산된 전위와 실제 측정된 전위의 차이에 대한 통계량을 알 수 있는데, 이를 통해 전위의 통계량에 대한 그래프를 통해 분석한 결과는 다음과 같다.

[그림 30-32] 오차의 경향성 그래프

[그림 30-32]에서 알 수 있듯 전체적으로 음극에서 양극 방향으로 선형적으로 오차의 크기가 커지는 것을 알 수 있다. 이를 통해 전체적인 경우에서 이론적 전위의 기울기보다 실제 실험으로 구한 전위기울기가 더 크다는 사실을 알 수 있다. 만약 전위가 전극과의 거리에 반비례하는 것이 아니라 거리의 k배(k는 0에서 1 사이의 소수)에 반비례한다면 해당 조건을 만족시킬지도 모른다.

원형-원형 전극에서는 어느정도 경향성이 있고 예측 가능한 정도의 오차가 발생하였지만, 막대전극이 포함된 2개의 실험에서는 오차의 산포 또한 예측 불가능한 모양을 띄었다. 이는 전극 막대를 ‘전하가 균일하게 분포되어있는 평판’으로 가정하였던 부분이 실제와는 다르기 때문으로 추측된다. 마지막으로 측정값과 예측값의 차이를 그래프로 도시하는 부분에서 각 그래프의 모양이 무작위인 랜덤분포를 따르는 것이 아니라 특정 형상을 띄고 있었는데, 이를 분석하여 기존에 세웠던 모델에 피드백 하는 방식으로 수정한다면, 수식적으로 등전위선을 정확하게 예측할 수 있는 모델을 만들 수 있을 것으로 기대된다.

4. 실험 결론

본 실험에서는 등전위선 실험장치를 이용하여 원형 및 막대전극에 전위차를 주었을 때 이차원 평면에서 등전위선이 어떠한 모습으로 그려지는지에 관한 실험을 수행하였으며, 이를 각 경우에 따라 정성적, 정량적 관점에서 분석하였다.

원형-원형 전극의 경우에는 기하학적으로 X, Y축에 모두 대칭으로 등전위선이 형성되었으며, 각 전위에 해당하는 등전위선은 전극에 가까워질수록 이심률이 작아지는 이차곡선의 형태를 띄었다. 이를 정성적으로 분석해보면, 특정 위치에서의 전위는 해당 위치와 전극간의 거리의 역수에 비례하였으며, 이를 도식화하여 3차원 좌표평면에 나타내어 실험값과 대조한 결과 상당부분 일치하는 것을 확인하였다.

원형-수직 막대 전극 실험에서는 수직 막대가 마치 축전기의 평판과 같이 작용하여 균일한 등전위선을 관찰할 수 있었다. 정성적으로 분석해보았을 때는 이론적 모형과 실제 실험값이 어느정도 부합하는 것을 확인하였으며, 오차의 분포가 원형 전극 부근에서는 U자 형태로, 막대 전극 부근에서는 선형적인 것을 확인하였다.

마지막 원형-수평 막대 전극 실험에서는 수평 막대 부분의 등전위선 마치 막대가 수면위를 운동하며 만들어내는 파형처럼 막대와 사선을 그리며 형성됨을 확인하였다. 또한 등전위선이 막대 주변을 둥글게 둘러쌀 것이라는 예측이 어긋난 것으로 보아 수평 막대의 각 표면마다 전위가 일정하지 않다는 것을 추론하였다. 마지막으로 정성적 분석에서도 각 전위마다 오차가 특이한 산포를 보여 분석에 어려움이 있었다. 이러한 결과들을 토대로 정량적 분석에서의 전극에 대한 가정인 2.2.3.에 다소 오류가 존재함을 고찰하였으며, 등전위선이 실제 존재하는 도체판 또한 무한 저항 그물의 형태로 해석해야 한다는 논의를 제시하였다. 오차 원인으로는, 잘못된 전제조건의 설정, 실험 기기의 노후화로 인한 오차, 프로브의 위치 offset 오차 등을 제시하였다.

본 실험은 필자의 물리적 호기심을 자극하여 여러 방법과 가설을 세우고 생각해 보았던 실험으로, 만족스럽지 못한 결과에 다소 아쉬움이 남는다. 추후 최신화된 실험 장치와 더 정교한 가설 설정을 통해 2차원에서의 등전위선의 분포에 대한 명료한 답을 찾고 싶다.

5. 참고 문헌

[1] 증명 - Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014) (Korean ver.) chap.25

i 사진 출처 : Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014), (Korean ver.)

ii 사진 출처 : David Griffiths – Introduction to Electrodynamics, 4e

2 “Infinite 2D grid of 1 ohm resistors” - https://sites.google.com/site/resistorgrid/

6. 부록

[그림 30-32] 식 (7~9)의 유도과정

[그림 33] 3차원 전위 평면 생성에 대한 파이썬 코드

[그림 34] 이론값-실험값 Scatter 그래프 생성에 대한 코드