[물실2] 실험02 - 전하와 전하사이
1. 서론
1.1 실험 목적
전하를 띄고 있는 입자들 사이에는 전기력이 작용한다. 이 때 전하들 사이에 작용하는 전기력과 전하량, 그 퍼텐셜 사이에는 일정한 관계가 있으며, 이러한 전기퍼텐셜을 전하의 형태로 저장하는 장치를 축전기라고 한다. 이번 실험에서는 전하를 저장하는 장치인 축전기의 특성에 대해 알아보고, 실제로 평행판 축전기에 전압을 인가하여, 극판 사이의 전압과 거리에 따라 작용하는 전기력의 크기가 어떠한 양상으로 변하는지 확인함에 그 목적이 있다. 또한 여러 종류의 유전체를 넣어 외부 전기장에 의해 정렬되는 정도를 의미하는 유전상수를 직접 계산해보고 축전기의 직렬 연결에서의 합성 전기용량 또한 계산해 본다.
1.2 이론적 배경
1.2.1 가우스 법칙
전하를 띄고 있는 두 물체는 띄고 있는 전하의 부호에 따라 서로 끌어당기거나 밀어내는 전기력을 받게 된다. 이러한 전기력에 대한 개념을 확장하여 특정 위치에 전하를 배치하였을 때 어떤 방향으로 어떤 크기의 힘을 받게 되는지를 기술하는 것이 바로 전기장이다. 이는 (x, y, z)의 좌표(극좌표계라면 (r, θ, φ) )를 받아 크기와 방향을 가진 하나의 벡터에 대응시켜주는 벡터장으로 해석할 수 있다.
전기장을 해석하는 방법은 쿨롱의 법칙을 제외하고도 가우스 법칙이 있는데, 이는 임의의 폐곡면을 설정하고, 그 곡면에 대한 전기선속이 해당 곡면 내부의 알짜 전하량에 비례한다는 법칙이다.
\[\int \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{enc}}{\epsilon_{0}}\tag{1}\]이 때 식 (1)의 좌변은 전기장을 미소 면적에 대한 법선 벡터와 내적한 것으로, 이를 전기선속이라 부른다. 전기 선속은 전기장 E의 방향에 수직한 면적 A에 대하여 EA를 의미한다. 이를 통해 면전하밀도 σ인 무한 평판에서의 전기장을 구해보자.
[그림 1] 무한 평판 위 가우스 폐곡면
무한 평판을 관통하고 밑면의 면적이 A인 대칭적인 원통을 생각해보자. 이를 가우스 폐곡면으로 설명하고, 전기 선속을 구하면 가우스 법칙을 적용할 수 있다. 동일한 면전하밀도의 무한 평판이므로 대칭성에 의하여 평판의 면에 수직인 전기장 성분만 존재할 것이기 때문에 원통의 둘레부분을 관통하는 전기장은 0이다. 원통의 위 아래에서의 전기장의 전기장은 대칭성에 의해 크기는 같고 방향은 반대일 것이다. 전기장의 크기를 E라 하면 원통에서의 전체 전기선속은 2EA이며, 이는 가우스 법칙에 의해 원통 내부의 알짜 전하를 유전상수로 나눈 것과 동일하다. 원통 내부의 전하는 면적 A와 면전하밀도 σ를 곱한 σA이므로, $2EA=\frac{\sigma A}{\epsilon_{0}}$가 되어 이를 전기장에 대해 정리하면,
\[E=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}\tag{2}\]식 (2)와 같다. 면전하 밀도가 σ인 무한 평판에서 식 (2)의 크기를 갖는 전기장을 양쪽 방향으로 발산하고 있는 것이다.
1.2.2 축전기
축전기란 부호가 다른 전하를 분리시켜 전기적 에너지를 저장하기 위한 장치로, 전기회로의 3요소 중 하나이다. 본 실험에서 다루게 될 평행판 축전기에 대해 이해하기 위해 극판의 양쪽에 +Q, -Q의 전하가 충전된, 면적 A, 극판간의 거리는 d이며, 유전율이 $κ\epsilon_{0}$인 유전체가 가득 채워진 평행판 축전기에 대해 다루어 보도록 한다.
[그림 2] 위 조건을 만족하는 평행판 축전기
평행판 축전기의 중심부에서는 가장자리 효과를 무시하고 평행판을 무한 평판으로 근사할 수 있다. 이 때 앞서 증명한 무한평판에서의 전기장인 식 (2)를 이용할 수 있는데, 두 극판 사이 부분은 양쪽 극판에 의한 전기장이 모두 작용하므로 이를 더해줄 수 있다. 즉 중첩의 원리에 의해 두 극판 사이에서 작용하는 전기장의 크기는 아래와 같다.
\[E=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}\tag{3}\]전기장의 방향은 (+)극에서 (-) 극을 향하며, 극판 외부에서는 전기장이 서로 상쇄되어 존재하지 않음을 알 수 있다. [그림 2]로부터 면전하밀도에 관한 조건 $\sigma=\frac{Q}{A}$를 알 수 있는데, 이를 대입하면,
\[E=\frac{Q}{Aκ\epsilon_{0}}\tag{4}\]두 지점의 전위차는 전기장을 두 지점을 잇는 임의의 경로에 대해 경로적분한 것이며, 양 극판 사이의 경로가 항상 극판에 대해 수직하게 잡았을 때 V=Ed라는 공식을 사용할 수 있다. 식 (4)와 V=Ed를 연립하여 Q에 대해 정리하면,
\[Q=\frac{κ\epsilon_{0}A}{d}V\tag{5}\]식 (5)를 얻을 수 있다. 식 (5)를 통해 축전기에 저장되는 전하량은 인가된 전압과 비례함을 알 수 있으며 그 외의 물리량들은 모두 축전기의 기하적 요소에 의해 결정된다는 것을 알 수 있다. 전압을 제외한 유전율, 면적, 거리에 관한 항들을 모아 이를 축전기 상수 혹은 전기용량 C라 정의할 수 있다.
\[C=\frac{κ\epsilon_{0}A}{d}\tag{6}\]전기용량은 극판의 기하적 형상 뿐만 아니라 극판 사이의 유전체의 유전율 또한 포함되어 있으며, 물리적으로는 1V당 축전기에 저장되는 전하의 양을 의미한다.
\[\begin{aligned} 마지막으로 평행판에서 전하에 의해 평행판에 작용하는 힘의 크기를 구하려면 전기장과 힘에 관한 공식인 \vec{F}=Q\vec{E}를 사용해야 하며, 이 때 평행판 하나가 만들어내는 전기장의 크기는 식의 값과 동일하다. 이 때 식 (5)와 연립하여 전기장을 다시 나타내면, \\ E=\frac{κV}{2d}\tag{7} \end{aligned}\tag{2}\]마지막으로 $\vec{F}=Q\vec{E}$를 사용하여 식을 정리해주면,
\[F=\frac{κ^{2}\epsilon_{0}A}{2}\frac{V^{2}}{d^{2}}\tag{8}\]을 얻을 수 있다.
1.2.3 합성 전기용량
합성 전기용량이란, 여러 개의 축전기를 직렬 혹은 병렬로 배치하여 회로를 구성하였을 때 이를 전기용량이 C인 하나의 축전기로 생각하여 전기용량을 구한 것이다. 직렬인 상황과 병렬인 상황에 대해 생각해보면 다른 일반적인 상황에서도 위 법칙을 적용할 수 있으므로, 전기용량이 각각 C1, C2, C3인 축전기를 직렬, 병렬로 연결한 회로를 생각해 보자.
[그림 3, 4] 직렬, 병렬로 연결된 축전기
직렬과 병렬 연결된 회로에서 각각의 경우에 대한 등가 전기용량을 구해보자. [그림 3]에서 C1과 C2 축전기 사이의 도선에 해당하는 도체 부분에서 전압이 공급되기 전에는 중성이었다가 전압이 공급되면 위쪽과 아래쪽에 각각 (-)전하와 (+)전하가 대전되는 것을 알 수 있다. 전압을 인가하기 전 중성 상태였기 때문에 대전된 전하들은 크기가 같고 부호가 반대라는 사실을 알 수 있다. 이를 통해 직렬연결된 축전기에서는 극판에 대전된 전하의 양이 모두 동일하다는 사실을 추론해낼 수 있다. 키르히호프의 제 2법칙에 의해 기전력 V는 각 축전기에서의 전압의 합이며, 이 두식을 연립하여 합성 전기용량 C는
\[\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}\tag{9}\]식 (9)와 같이 표현됨을 알 수 있다. 같은 방법으로 병렬 연결을 살펴보면, 각 축전기에 가해지는 전위차가 동일하므로 합성 전기용량은 축전기에 축적된 전하량의 합을 전위차 V로 나눈 것과 같다. 즉
\[C=C_{1}+C_{2}+C_{3}\tag{10}\]축전기의 병렬 연결에서 합성 전기용량은 각 축전기의 전기용량의 합과 같다. 이를 통해 축전기의 직렬과 병렬 연결은 저항의 직렬과 병렬 연결과는 반대로 계산된다는 사실을 알 수 있다.[1]
2. 실험 내용
2.1 실험 장비
전기력 측정장치 (축전기, 마이크로미터, 전자저울 키트), 버니어 캘리퍼스, (아크릴/유리/테프론) 유전체 판
2.2 실험 방법
2.2.1 인가 전압에 따른 전기력 확인
- 실험 전 (+)극과 (-)극의 전극을 연결시켜 방전 초기화를 시켜준다.
- 전원 공급 장치의 전원을 OFF에, 전압 조정 장치의 손잡이를 최소로 놓은 상태에서 전자 저울의 영점을 조절하고 상부 극판의 마이크로미터의 래칫 스톱을 돌려 극판 사이의 거리를 1.04cm로 조정한다.
- 전압을 0V에서부터 0.5kV간격으로 5kV까지 올려가며 저울에 표시된 질량을 읽는다. 이 때 저울의 숫자가 변하지 않는 평형상태가 될 때까지 잠시 기다린 후에 측정한다.
2.2.2 극판사이의 거리에 따른 전기력 확인
2.2.1의 1) ~ 3) 과정을 반복하되 극판 사이의 거리를 각각 1.24, 1.44cm로 조절하여 실험을 반복한다. 각 실험의 조건을 바꿀 때에는 2.2.1의 1) 과정인 방전 초기화를 진행하여 이전 실험으로 인해 저장되었던 전하가 다음 실험에 영향을 미치지 않도록 한다.
2.2.3 유전체의 종류에 따른 전기력 확인
앞선 실험 과정에 따라 실험을 진행하되 각기 다른 유전체, 즉 유리, 아크릴, 테플론과 아크릴을 50:50으로 겹쳐 만든 물체를 유전체로 하여 실험을 반복한다. 유전체를 넣은 경우에도 극판사이의 거리와 인가 전압을 위와 같은 조건으로 변화시켜 가며 실험한다.
| 유전체 | 공기 | 유리 | 아크릴 | PTFE |
|---|---|---|---|---|
| 유전상수 | 1.00059 | 5.6 | 2.56 | 2.03 |
undefined [표 1] 유전체에 따른 유전상수 (kappa)
위 유전체에 따른 유전상수 표를 식 (8)의 kappa 부분에 대입하여 이론값과 실제 실험값을 비교하고, 실험값으로부터 역으로 유전상수를 구하여 타당성을 검증한다.
2.2.4 전기력에 관한 정량적 분석 방법
실험에서 저울을 통해 측정되는 값은 축전기로 인해 저울에 인가되는 힘을 무게로 보고 이를 질량으로 환산한 값이다. 그러므로 이를 다시 힘, 즉 Newton 단위로 나타내 주어 식(8)과 연립하기 위해 저울의 질량에 중력가속도인 g를 곱해주어야 한다. 즉 식 (8)을 통해 계산된 이론적인 전하에 의한 힘과 실제 극판에 인가된 힘, 즉 저울에 가해진 무게의 비교를 통하여 앞서 세운 이론적 평행판 축전기에서의 극판간 힘이 실제와 부합하는지를 확인할 것이다. 만약 이론적 결과와 경향성 및 실제 값이 부합한다면, 전압, 극판 간 거리, 유전상수를 변화시켰을 때 식 (8)에서 세운 관계식에 따라 변화하는지 (즉 전압, 유전상수은 제곱에 비례하고 극판 간 거리는 제곱에 반비례하는지를) 확인할 것이다. 이 때 그래프의 시각화를 위하여 극판에 의한 전기력에 절댓값을 씌워 그 크기만으로 비교하기로 한다.
마지막으로 실험에서 사용된 상수는 다음과 같으며, 저울의 분해능이 0.1g임에 따라 표현가능한 최대 유효숫자의 자릿수가 세 자리이므로 계산의 편의와 정확성을 위해 상수 또한 유효숫자를 세 자리로 맞추어 대입하였다.
\[\begin{aligned} \epsilon_{0}=8.85\times 10^{-12}F/m \\ g=9.81m/s^{2} \end{aligned}\tag{11}\]2.3 실험 결과 및 분석
2.3.1 공기, d=1.04cm, 전압에 따른 전기력
유전체는 공기이며, 극판사이의 간격이 1.04cm일 때의 전압에 따른 전기력의 크기는 다음 표와 같다.
| 인가 전압 | |||
|---|---|---|---|
| [kV] | 전기력 | ||
| 실험값 [N] | 전기력 | ||
| 이론값 [N] | 오차율 | ||
| [%] | |||
| 0.5 | 0 | 0.322 | - |
| 1 | 1.962 | 1.287 | 52.5 |
| 1.5 | 3.924 | 2.896 | 35.5 |
| 2 | 7.848 | 5.148 | 52.4 |
| 2.5 | 12.753 | 8.044 | 58.5 |
| 3 | 17.658 | 11.58 | 52.4 |
| 3.5 | 25.506 | 15.77 | 61.8 |
| 4 | 32.373 | 20.59 | 57.2 |
| 4.5 | 43.164 | 26.06 | 65.6 |
| 5 | 54.936 | 32.18 | 70.7 |
undefined [표 2] 공기, d=1.04cm에서 의 전기력
[그림 5] 전압에 따른 전기력 그래프
전압에 따른 전기력 그래프는 실험적으로 이차함수의 개형과 매우 흡사함을 알 수 있다. 이차 함수에 fitting 해본 결과 R2=0.9989의 매우 높은 정밀도로 이차함수와 일치한다는 사실을 알 수 있다. 이론적으로 예측된 prdc 그래프와는 어느 정도의 차이를 보였는데, 이러한 예측값과 실제 실험값의 차이는 실험 논의의 오차 분석 부분에서 다루고자 한다. 그러나 이와는 별개로 식 (8)에서 세웠던 “극판 사이에 작용하는 전기력은 전압의 크기의 제곱과 비례한다”라는 가설은 위 그래프가 이차함수와 잘 들어맞는다는 점에서 정당성을 입증하였다고 볼 수 있다.
[그림 6] 전압에 따른 전기력 (여러 극판 길이에서)
1.04cm가 아닌 1.24, 1.44cm에서도 앞선 분석 결과와 동일하게 이차함수에 알맞게 fitting되는 것을 알 수 있다. 이를 통하여 식 (8)에 대한 증명을 더욱 확실히 할 수 있다.
2.3.2 공기, 1kV간격, 극판 간격에 따른 전기력
실험 데이터로는 d=1.04, 1.24, 1.44로 2mm 간격에 대하여 똑같이 0.5kV씩 증가한 전압을 최대 5kV까지 인가하였을 때의 데이터가 주어졌다. 그러나 이러한 데이터는 극판의 간격 변화에 따른 전기력 크기를 알아보기에 알맞지 않으므로, 각 실험별로 동일한 전위차를 주었을 때의 데이터를 추출하여 이 때 극판 사이의 거리에 따라 어떻게 힘의 크기가 변화하였는지를 추론하였다.
| 인가 전압 | |||
|---|---|---|---|
| [kV] | 1.04cm | 1.24 cm | 1.44 cm |
| 3.5 | 17.64 | 12.74 | 10.78 |
| 4 | 25.48 | 17.64 | 14.7 |
| 4.5 | 32.34 | 25.48 | 19.6 |
| 5 | 43.12 | 30.38 | 24.5 |
undefined [표 3] 극판 간격에 따른의 전기력 (unit: [N])
[그림 7] 극판 거리에 따른 전기력 그래프
극판 거리가 멀어질수록 전기력은 그 거리의 제곱에 반비례하게 줄어들기 때문에 시각화를 위해 힘이 아닌 1/F, 즉 힘의 역수를 취하여 힘의 역수가 거리의 제곱에 비례하는지를 확인하였다. 또한 저울의 분해능의 문제로 0~2.5kV 구간에서의 질량이 매우 미미하게 변화하였기에 이를 역수 취한 값으로는 유의미한 결과를 얻을 수 없을 것으로 판단하고 배제하였다. [그림 5]를 통해 극판 사이의 거리가 늘어날 수록 힘의 역수값이 증가, 즉 힘의 크기가 작아진다는 사실을 알 수는 있으나, 1.04, 1.24, 1.44cm라는 3가지 x값으로는 이차함수로의 근사가 쉽지 않아 실제로 힘의 크기가 거리의 제곱에 반비례하는지 파악하기는 어려웠다.
극판 사이의 간격과 실제 힘의 비례관계를 확인하기 위해 동일 전압 조건에서 극판 사이의 간격을 변화시키기 보다는, 앞선 2.3.1 실험에서 도출된 결과를 활용하여 분석하는 방법을 고안해 보았다. [그림 6]을 통해 각 극판사이 간격별 fitting된 이차함수의 최고차항의 계수가 표시되어 있는데, 이를 비교하여 전기력이 간격의 제곱에 반비례하는 것을 보일 수 있다. 식 (8)에 따라 변화하는 전압을 x라는 변수로 두고 힘의 크기를 y로 보았을 때 다음과 같은 이차함수를 생각할 수 있다.
\[y=\frac{κ^{2}\epsilon_{0}A}{2d^{2}}x^{2}=ax^{2}\tag{12}\]실험 2.3.1에서 도출된 이차함수들의 일차항과 상수항 성분을 오차로 간주하고 배제하면, 이차함수의 최고차항의 계수인 a 또한 극판 사이의 거리의 제곱에 반비례한다.
[그림 8] 극판 거리와 이차함수의 최고차항의 계수(a)의 관계
[그림 8]을 통하여 완벽하지는 않지만 극판의 거리에 따라 이차함수의 최고차항의 계수가 거리 제곱에 반비례하는 것을 정성적으로 확인할 수 있다. 거리에 따른 실험 데이터를 확인하려면 최소 5개 이상의 서로 다른 거리에 따른 실험 데이터가 필요하지만, 본 실험에서는 세 가지 종류의 거리만 다루어 이차근사를 할 수 없다. (이차 함수에 fitting 할 때 데이터가 3개라면 x값이 다른 어떠한 세 점에 대해서도 R2=1인 이차함수를 찾을 수 있다.)
2.3.3 유전체, 인가 전압에 따른 전기력
유전체를 추가한 경우의 실험에서도 앞선 2.3.1 실험과 동일하게 극판의 거리를 고정하고 전압을 바꾸어가며 실험하였을 때의 결과를 그래프와 표를 이용하여 나타내었다.
[그림 9, 10] d=1.24, 1.44cm, 유전체로 유리를 사용하였을 때의 전압에 따른 전기력 예측값과 실제 값 비교 그래프
[그림 9]과 [그림 10]를 통하여 앞선 결과와 동일하게 전압의 제곱에 힘의 크기가 비례한다는 사실을 알 수 있으며, d=1.44cm인 경우는 이론값과 상당히 근사하다는 사실을 알 수 있다. 이 때 [그림 9]에서 2kV 이하의 전압을 인가하였을 때 저울의 무게가 양수로 도출되는 현상을 발견할 수 있다. 이로 인해 이론값과 실험값의 그래프의 교차점 또한 생기게 되었는데, 이러한 값은 전기력이 물체를 당기는 힘보다 더 큰 힘으로 저울을 누르는 오차 요인에 의해 이러한 결과가 발생한 것으로 보인다. 아래 표는 앞선 그래프에 대한 데이터 표이다.
| 인가 전압 | ||||
|---|---|---|---|---|
| [kV] | d=1.24cm | |||
| 실험값 [N] | d=1.24cm | |||
| 이론값 [N] | d=1.44cm | |||
| 실험값 [N] | d=1.44cm | |||
| 이론값 [N] | ||||
| 0.5 | -21.582 | 0.7225 | 0 | 0.53575 |
| 1 | -17.658 | 2.89 | 3.924 | 2.143 |
| 1.5 | -4.905 | 6.5025 | 6.867 | 4.82175 |
| 2 | 4.905 | 11.56 | 11.772 | 8.572 |
| 2.5 | 16.677 | 18.0625 | 16.677 | 13.39375 |
| 3 | 31.392 | 26.01 | 25.506 | 19.287 |
| 3.5 | 51.012 | 35.4025 | 33.354 | 26.25175 |
| 4 | 70.632 | 46.24 | 42.183 | 34.288 |
| 4.5 | 94.176 | 58.5225 | 49.05 | 43.39575 |
| 5 | 128.511 | 72.25 | 64.746 | 53.575 |
undefined [표 4] 유전체 유리, 극판 간격, 인가 전압에 따른 전기력 크기 비교
추가적으로, 일반 공기에서의 실험결과와 비교하였을 때 유리라는 유전체를 추가함으로써 역으로 유전체를 구할 수 있다. [그림 9]의 case인 d=1.24cm의 경우 전기력 값이 음수가 나온 특수한 상황이므로 d=1.44cm의 경우를 2.3.1의 동일한 조건에서 유전체만 공기로 바꾼 상황과 비교하여 보자.
\[\frac{κ_{mix}^{2}}{κ_{air}^{2}}≈κ_{mix}^{2}=\frac{F_{glass}}{F_{air}}\tag{13}\]공기의 유전상수는 1.00059로 진공의 경우와 차이가 거의 없으므로, 유리의 유전상수는 유리에서의 전기력과 공기에서의 전기력의 비율의 제곱근이라 할 수 있다.
| 인가 전압 | |||
|---|---|---|---|
| [kV] | 전기력 | ||
| (air) [N] | 전기력 | ||
| (glass) [N] | $κ_{mix}=\sqrt{\frac{F_{glass}}{F_{air}}}$ | ||
| 0.5 | 0 | 0 | - |
| 1 | 0.981 | 3.924 | 2 |
| 1.5 | 2.943 | 6.867 | 1.527525 |
| 2 | 4.905 | 11.772 | 1.549193 |
| 2.5 | 8.829 | 16.677 | 1.374369 |
| 3 | 10.791 | 25.506 | 1.537412 |
| 3.5 | 14.715 | 33.354 | 1.505545 |
| 4 | 19.62 | 42.183 | 1.466288 |
| 4.5 | 24.525 | 49.05 | 1.414214 |
| 5 | 30.411 | 64.746 | 1.45912 |
undefined [표 5] d=1.44cm에서 인가된 전압별 유리의 유전상수 표
\[\begin{aligned} [표 5]를 통해 구해진 κ_{mix}는 유리에서의 합성 유전상수로, 이는 축전기의 직렬 연결에서의 합성 저항인 식를 이용하여 순수한 유리의 유전상수 값으로 바꿀 수 있다. \\ \frac{1}{C}=\frac{d}{κ_{mix}A\epsilon_{0}}=\frac{d_{air}}{κ_{air}A\epsilon_{0}}+\frac{d_{glass}}{κ_{glass}A\epsilon_{0}}\tag{14} \end{aligned}\tag{9}\]식을 통해 유리의 유전상수 값을 구할 수 있으며, [표 3]으로부터 구한 합성 유전상수의 평균값을 식 (14)에 대입하여 얻은 유리의 유전상수는 1.54로 이론값인 5.6에 비해 큰 차이를 보였다. 이는 실험 가설인 식 (8)이 잘못 세워졌다기 보다는, 유전체에 의한 효과가 이론과 동일하게 실제에 적용되지 않아 발생한 문제라고 보는 것이 타당하다. 이에 대한 추가적인 분석은 실험 논의에서 다루기로 한다.
2.3.4 유전체의 병렬 연결에 따른 전기력
테플론과 아크릴을 병렬로 연결하여 극판에 닿는 면적이 동일하게 만들었을 때의 실험 결과이다.
[그림 11, 12] 축전기의 병렬연결에서의 쿨롱 힘
테프론과 아크릴 판을 절반씩 포함되게 하여 유전체를 구성할 경우 같은 종류의 유전체로만 구성된 극판의 면적이 절반인 두 축전기가 병렬로 연결된 상황과 동일하다고 할 수 있다. 즉 식 (8)의 유전상수를 두 물질의 유전상수의 평균값을 대입하여 [그림 11, 12]의 예측값을 구하였다.
\[κ^{'}= \frac{κ_{tef}+κ_{acr}}{2}\tag{15}\]
[그림 12]의 경우 다른 case들과 달리 예측값에 비해 실험값이 낮게 나타난 것을 확인할 수 있다. 또한 이 때도 저울에 가해진 전기력이 음수인 부분이 존재함을 확인할 수 있다.
3. 실험 논의
3.1 전압에 따른 전기력 측정 실험 논의
3.1.1 전기력 측정 실험에서의 오차 요인
먼저, 2.3.1.에서 알 수 있듯이 이론적 결과값과 실제 결과가 경향성 측면에서는 일치하나, 오차율이 약 5~60%정도 발생하여 식 (8)에서 어느정도의 보정이 필요함을 알 수 있다. 오차의 정도가 전압 인가에 따라 심해지는 것이 아니라 일정한 비율로 유지된다는 사실로 보아, 식 (8)로부터 V와 d가 아닌 상수항에 오차가 있거나, 곱해주어야 할 항이 존재한다는 결론에 다다를 수 있다.
가장 먼저 다루어볼 오차 요인은 가장자리 효과에 의한 전기력의 오차이다. 이론적으로 평행판 축전기를 무한평판에 전하가 균일하게 분포된 경우에 대하여 전기장과 그에 따른 힘의 크기를 구하였기 때문에, 가장자리 효과, 즉 균일한 전하의 분포 가정이 깨지거나, 경계에 위치하여 균일 전기장을 보장할 수 없을 경우 가장자리 효과를 무시할 수 없게 된다. 실제로 가장자리 효과가 실제로 어느 정도의 영향을 미치는지에 관한 논문을 보면,
\[\begin{aligned} \frac{C_{sim}}{C_{ide}}=1+ \frac{k_{1}d+k_{2}d^{2}+\cdots }{l} \\ 으로, 이론상의 결과보다 실제 축전기 상수가 더 크게 나타난다는 사실을 알 수 있다. 이 때의 상수값인 k_{1}=1.06 정도로, 상당히 무시할 수 없는 수준이며 l, 즉 평행판 축전기에서의 평행판의 가로 길이가 작으면 작을수록 실제와 이론값의 비율이 더 커져 오차가 늘어나는 것을 알 수 있다. 실제로 실험을 통해 얻은 값이 이론값보다 항상 큰 결론을 얻을 수 있었는데, 식에 의해 가장자리 효과를 고려한다면 이론값보다 더 큰 실험 결과값을 납득할 수 있다.**[2]**\tag{14} \end{aligned}\tag{16}\]3.1.2 기타 오차 요인 및 논의 사항
추가적으로 생각해볼 수 있는 오차 요인으로는 과도하게 부정확한 전자저울을 꼽을 수 있다. 전자저울의 분해능은 0.1g으로, 축전기로부터 인가되는 힘의 크기를 고려했을 때 얻을 수 있는 데이터의 유효숫자는 두자리에 불과하다. 본 실험에서의 목적인 전압과 전기력의 상관관계를 파악하는 데는 큰 문제가 없겠지만, 후에 따로 언급할 유전상수를 구하거나, 정확한 길이 혹은 질량을 측정하는데 사용하기 위해서는 저울의 정확도를 분해능 최소 0.01g 이하로 높여야 한다고 판단된다. 저울의 눈금 뿐만이 아니라, 전압 인가 장치의 눈금 또한 0.05kV까지의 분해능을 갖는 것으로 추정되는데 이는 디지털 기기를 사용해 소수점까지 정확한 전압을 인가하도록 실험장치를 바꾼다면 더 정확한 결과를 보장할 수 있을 것이다.
또한 극판에 전하가 균등히 분포된다는 보장을 할 수 없다. 도체 내부에서 전하는 보통 촉점 주위에 잘 모이게 된다. 즉 원판의 경우는 원판의 가장자리에 전하가 모일 확률이 상대적으로 높을 수 있다는 뜻이다. 이로 인해 앞서 설명한 가장자리 효과가 더 증폭될 수 있을 것으로 예상된다.
3.2 극판 거리에 따른 전기력 측정 실험
3.2.1 과도하게 부족한 실험 sample
본 실험에서 가장 아쉬웠던 점은, 극판 거리에 따라 전기력이 변화하는 과정을 탐구하는 과제임에도 거리에 대한 조건을 1.04, 1.24, 1.44cm라는 총 3개의 거리 case에 대해서만 실험을 수행하였다는 점이다. 이론적 배경에 따라 식 (8)에서 알 수 있듯이 전기력은 극판사이의 거리의 제곱에 반비례한다. 즉 분석을 위해 거리, 혹은 거리의 제곱을 x로 하고 전기력, 혹은 전기력의 역수를 y로 하여 회귀식을 세우기 위해서는 최소한 서로 다른 3개 이상의 x값이 필요하다. 그러나 x값에 해당하는 거리가 세 종류만 주어졌기 때문에 단순히 거리가 멀어지면 전기력이 약해진다는 사실만을 알 수 있을 뿐 정량적인 분석이 불가능하였다. 더 가까운 거리에 대한 실험은 크 방전의 위험성이 있어 불가능하므로 극판 사이의 간격을 더 벌려 최소 5개 이상의 test case가 나오도록 실험을 진행해야 할 것이다. 또한 극판 사이의 거리가 멀어짐에 따라 측정되는 전기력의 크기가 작아질 것이므로, 앞서 언급한 저울의 정밀성 또한 구비되어야 할 것이다.
3.2.2 극판 사이의 거리에 대한 유의성
극판 사이의 거리는 마이크로미터의 래칫 스톱을 돌려 측정되었으며 이는 상당히 정확한 값이다. 그러나 실험을 진행하는 과정에서 축전기에 인가한 전위차가 수 kV에 해당하는 상당히 큰 전압이기 때문에 힘의 크기도 저울로 측정 가능할 만큼 상당히 크고, 이로 인해 힘의 불균형이나 극판 자체의 들림 현상이 발생할 수 있다. 단순히 극판이 무거워 이동하지 않는다는 가정하에서는 위와 같은 식을 적용할 수 있겠지만, 극판이 힘에 의해 조금이라도 움직이게 되면, 움직임에 의해 극판 사이의 거리가 바뀌게 된다. 미분방정식을 통해 시간에 따른 힘과 거리의 식을 세워 풀 수 있으며, 유전체가 공기인 경우는 큰 상환이 없지만, 유전체가 존재하는 경우는 충분히 고려할 만한 사항인 것으로 판단된다.
3.3 유전체를 넣은 경우의 실험 고찰
3.3.1 유전상수의 역산 방법에 관한 논의
공기가 아닌 유전체에 대해서도 공기를 사용했을 때와 동일하게 전기력이 전압의 제곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하는 모습을 보였다. 그러나 실험결과를 이론적인 식에 대입하여 유전상수를 구하는 과정에서는 실제 값과는 큰 차이를 보였다. 이러한 오차를 조금이나마 보정하기 위해 합성 유전상수가 아닌, 서로 다른 두 개의 축전기에서 발생하는 각각의 힘의 합이 실제 저울에 인가되는 힘이라고 가정하고 유전상수를 구해 보았다.
[그림 13] 직렬 연결된 축전기에서의 전기력
[그림 13]의 과정에 따라 유전율과 두께가 다른 두 유전체를 직렬로 연결하였을 때 이에 작용하는 전기장과 전기력을 구해보자.
먼저 가우스의 법칙을 이용하여 E1과 E2를 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.
\[E_{1}=\frac{Q}{κ_{1}A\epsilon_{0}}, E_{2}=\frac{Q}{κ_{2}A\epsilon_{0}}\tag{17}\]축전기의 직렬 연결에서 A와 Q의 값은 같으므로 자명하다. 이후 Q=CV이므로 각각의 전기용량을 구하여 각각의 전위차에 대응시켜준다.
\[Q=\frac{κ_{1}A\epsilon_{0}}{d_{1}}V_{1}=\frac{κ_{2}A\epsilon_{0}}{d_{2}}V_{2}\tag{18}\]한편, V1과 V2의 합은 V와 같으므로, 식 (18)과 연립하여 V1과 V2를 V에 관한 식으로 정리한다. F=QE 식을 적용하기에 앞서 각각의 힘은 각각의 전기장에서 전하 Q가 모였을 때의 힘의 합이므로, F=Q(E1+E2)가 되며, 이를 정리하여 나타내면 다음과 같다.
\[F=\frac{\epsilon_{0}AV^{2}}{2}\left(\frac{κ_{1}^{2}κ_{2}^{2}}{(κ_{1}d_{2}+κ_{2}d_{1})}\right)\tag{19}\]앞선 식 (15)에서의 힘의 비율에 관한 식을 계산할 때, 식 (19)을 적용하면, 유리의 유전상수 실험값은 4.8을 얻을 수 있으며, 이는 5.6이라는 유리의 유전상수 참값에 상당히 근접한 값이다.
3.3.2 유전체의 모양에 따른 오차 요인
사용된 유전체의 모양이 축전기 판의 모양인 원반 형태가 아니라 직사각형 모양이었기에 이로 인한 오차가 발생하였을 것으로 추측이 된다. 앞서 설명한 가장자리 효과 또한 이러한 유전체의 모양에 의해 그 오차가 가중되었을 것으로 보인다.
3.3.3 유전체 사용시 음의 전기력의 이유
음의 전기력이라는 것은 전압을 인가하였을 때 전기장의 방향과 반대로 힘이 작용하였다는 것을 의미한다. 이는 이론과 모순되는 결과이며, 전압에 반하는 방향으로 전기력이 가해졌다기 보다는, 초기 상태에서 외력이 가해져 얻어진 결론이라고 보는 것이 타당하다. 자세한 요인은 이론상으로는 파악할 수 없으나, 더 세밀한 영점 조절, 유전체 내부의 전자 배치가 흐트러져있다가 다시 정렬되는 과정에서 반대 방향의 힘이 가중되었을 가능성 등 다양한 이유를 배제하지 않고 조사해봐야 할 것이다.
3.3.4 테플론과 아크릴 판을 사용한 경우의 힘의 불균형 문제
테플론과 아크릴 판을 반씩 사용한 실험에서는 두 물질의 유전율 차이에 의해 서로 발생하는 힘의 크기 또한 달랐을 것이다. 양쪽에서 다른 크기의 힘으로 저울을 당기고 있기 때문에 토크가 발생할 수 있으며, 이는 앞서 설명한 하부 극판의 움직임 문제와 전하의 불균형 문제를 가중시키는 요인으로 작용하였을 것이다. 이를 해결하기 위해서는 측정장비인 저울에 영향을 주지 않기 위해 축전기에 직접적으로 가하지 않으면서 유전체와 축전기의 배치 상태를 일정하게 유지시켜줄 수 있는 방법을 고안해야만 한다.
4. 실험 결론
본 실험에서는 쿨롱 힘을 알아보기 위해 전하가 충전된 축전기 사이에 작용하는 전기력을 저울로 측정하여 어떠한 요인에 의해 전기력의 크기가 변화하는지를 확인하였다. 먼저 진공과 유전율이 가까워 유전상수를 1로 취급 가능한 공기에서 각각 전압, 극판사이의 거리를 0.5kV, 0.2cm단위로 변화시켜 가며 전기력의 크기가 어떻게 변하는지 측정하였다. 전압의 크기의 제곱에 전기력이 비례함을 높은 정확도로 확인하였으며, 실제값과의 오차는 가장자리 효과에 의한 편향임을 제시하였다. 또한 극판 사이의 거리의 경우 거리가 멀어질수록 전기력의 크기가 작아진다는 사실은 확인할 수 있었으나, 실험 데이터의 부족으로 거리의 제곱에 반비례한다는 사실은 정량적 증명을 하지 못하였다. 이는 다양한 거리에서의 전기력 측정 실험 데이터가 누적되면 쉽게 증명할 수 있을 것으로 보인다. 마지막으로 공기 대신 유전체를 대입하였을 때 전기력의 크기가 어떻게 바뀌는지를 확인하고, 역으로 유전상수를 구해보았다. 유리를 유전체로 사용한 경우 공기와 유리 층이 직렬로 연결된 형태이므로 이를 고려하여 보정을 시행한 끝에 4.8이라는, 참값 5.6에 상당히 근접한 유리의 유전상수를 구해낼 수 있었으며, 테플론과 아크릴을 병렬로 연결한 경우에도 유전상수의 평균값을 새로운 합성 유전상수로 보고 이론값과 큰 차이가 보이지 않음을 설명하였다.
오차 요인으로는 전하, 힘의 불균형으로 인한 이론과 실제의 모순 발생, 유전체의 모양이 직사각형 판이기에 생기는 가장자리 효과 오차의 가중 등을 들었으며, 각각의 오차에 대한 해결방안을 제시하였다.
5. 참고 문헌
[1] 증명 - Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014) (Korean ver.) page 125.
[2] S. Catalan-Izquierdo1 , Jose-M. Bueno-Barrachina1 , César-S. Cañas-Peñuelas1 , Francisco Cavallé-Sesé1 - “Capacitance evaluation on parallel-plate capacitors by means of finite element analysis” – (2009, Spain)