[물실2] 실험05 - 전류에 의한 자기장
1. 서론
1.1 실험 목적
자기장은 영구자석과 같이 자성을 가진 물체로부터 발생하나, 자기장의 원천은 입자 고유의 스핀, 즉 전자와 같이 전하를 띈 입자가 운동하여 발생한다. 전류로부터 유도되는 자기장을 정량적으로 표현하기 위해 Biot-Savart Law를 이용하여 임의의 지점에서 솔레노이드, 단일 코일, 헬름홀츠 코일의 전류에 의한 자기장의 크기와 방향을 예측한다. 그리고 실제로 각 구조물에 전류를 흘리고 중심축에서의 자기장을 측정하여 Biot-Savart Law에 의한 예측값과 부합하는지 확인한다.
1.2 이론적 배경
1.2.1 비오-사바르 법칙
비오-사바르 법칙(Biot-Savart Law)란, 전자기학에서 미소 도선을 흐르는 전류가 특정 위치에 생성하는 자기장을 설명하는 법칙이다. 이 법칙은 자기장의 방향이 전류와는 수직이며 거리의 제곱에 반비례한다는 사실을 알려주고 있다. 미소 길이 dl의 전선을 따라 전류 I가 흐를 때 위치 벡터 $\vec{r}$에서의 자기장 dB를 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[dB\left(r\right)= \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{Idl\times \bar{r}}{r^{2}}\tag{1}\]
[그림 1] 미소길이 ds의 도선이 만드는 자기장
\[ds 벡터는 도선의 미소길이에 대한 방향벡터이자 도선 전류의 방향벡터이며, r 벡터는 도선의 미소 길이를 시점으로, 자기장을 구하고자 하는 지점을 종점으로 한 벡터이다. 식을 통해 특정지점에서의 자기장의 세기는 전류의 크기 I, 전류와 해당 위치가 이루는 각 \theta에 대해 \sin \theta에 비례하며, 거리의 제곱에 반비례한다는 사실을 알 수 있다. 또한 그 방향은 전류 흐름 방향과 위치벡터에 외적이므로 두 벡터에 각각 수직인 방향을 향하게 된다. 이는 앙페르의 오른 나사 법칙(엄지손가락을 전류의 방향으로 하였을 때 나머지 손가락이 감아쥐는 방향이 자기장의 방향)과 동일한 결과임을 내포한다. 유한 혹은 무한한 길이의 도선이 만드는 자기장을 구하기 위해서는 해당 미소자기장의 벡터합, 즉 적분을 통해 총 자기장을 구할 수 있다.\tag{1}\]1.2.2 원형 코일이 만드는 자기장
감은수가 1인 반지름 R인 원형 코일에 전류 I를 인가할 때 코일의 중심으로부터 x만큼 떨어진 위치에서의 자기장의 크기를 구할 수 있다.
[그림 3] 원형 코일에서의 자기장
이 때는 원형 코일을 미소길이에 대한 비오 사바르 법칙을 적용하여 자기장을 구할 수 있는데, z축 성분([그림 3]에서 위-아래 방향 성분)이 아닌 자기장의 경우 원의 반대편에 항상 해당 성분을 상쇄하는 방향으로 자기장이 작용하므로 z축에 대해서만 적분하여 자기장을 구하면 된다. 그 값은 다음과 같다.
\[B=\frac{\mu_{0}I}{2R}\frac{1}{\left(1+\left(x/R\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\tag{2}\]식 (2)는 감은수 1에 대한 자기장이므로, 그 두께를 고려하지 않는다면 감은수 N의 코일에 대해 식 (2)에 N을 곱하여 나타낼 수 있다.
1.2.3 솔레노이드가 만드는 자기장
솔레노이드는 도선을 나선형으로 말아놓은 것으로, 전류의 흐름에 의해 생기는 방사형의 자기장이 한쪽으로 방향성을 가지도록 만들어둔 장치이다.
[그림 2] 솔레노이드의 구조와 자기장의 형성
이러한 솔레노이드의 중심부에 형성되는 일정한 자기장은 다음과 같이 표현된다.
\[\begin{aligned} B=\mu_{0}i_{sol}n \\ 여기서 \mu_{0}는 진공의 투자율로 상수값이며, 자기장의 크기는 솔레노이드를 흐르는 전류와 단위길이당 감긴 도선의 수인 감은수 n을 곱하여 구할 수 있다. 그러나 실제의 솔레노이드의 길이는 유한하며, 이 때의 자기장의 크기는 각 점에서의 전류고리가 만드는 자기장, 즉 식의 자기장을 전체 솔레노이드에 대해 적분하여 구할 수 있다.\tag{2} \\ \begin{aligned} B=\mu_{0}i_{sol}ncos\theta_{c} \\ \cos \theta_{c}=\frac{L}{\sqrt{r^{2}+L^{2}}} \end{aligned}\tag{4} \end{aligned}\tag{3}\]식 (4)는 솔레노이드의 중심축 중 한쪽 가장자리끝에서의 자기장의 크기인데, 이를 이용하면 솔레노이드의 중심을 관통하는 직선 내의 임의의 점에 대해서도 동일한 방법으로 자기장의 크기를 구할 수 있다.
1.2.4 헬름홀츠 코일의 자기장
헬름홀츠 코일은 중심축이 같고 감은수가 같은 2개의 원형 코일을 그 반지름만큼의 거리를 두고 배치한 장치이다.
[그림 4] 헬름홀츠 코일에서의 자기장
식 (4)를 이용하여 헬름홀츠 코일의 중심점인 O에서의 자기장의 크기를 구하면,
\[B=\frac{\mu_{0}I}{R}\left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{3}{2}}\tag{5}\]임을 알 수 있으며, 두 코일의 사이에서는 자기장의 세기가 거의 동일한 것을 알 수 있다.
2. 실험 내용
2.1 실험 장비
트랙, 3축 자기장 센서, 헬름홀츠 코일을 위한 감은수가 같고 길이가 짧은 코일 2개, 솔레노이드 1개, 직류 전원장치, 바나나 케이블 4개, 멀티미터, 나침반
2.2 실험 방법
2.2.1 실험 장치 셋팅
- 3축 자기장 센서의 트래킹 프로그램을 실행시키고 X 자기장 (혹은 130mT)를 선택하여 관찰할 자기장을 X축으로 한정한다. 이후 영점 버튼을 조절하여 전류가 흐르지 않는 상태에서의 자기장의 크기를 0으로 조정한다.
- 좌측하단의 모드를 클릭하여 이벤트 기반으로 변경한 뒤 수동보관 모드를 선택한다. 이벤트 이름을 거리, 단위는 cm를 입력한다.
- 트랙을 통해 솔레노이드가 x축상에서 자유롭게 움직일 수 있는지 확인한다. 또한, 홀더의 기준선에서 3축 자기장 센서가 얼마나 떨어져 있는지 거리를 측정한다.
- 솔레노이드를 트랙의 30cm에서 놓고 센서 기준선을 3cm로 놓은 상태에서 솔레노이드를 케이블을 이용하여 직류 전원장치에 연결한다. 솔레노이드는 저항이 작으므로 멀티미터로 0.5A의 전류가 인가되도록 조정한 뒤, 3cm부터 13cm까지 0.5cm 간격으로 센서를 이동시키면서 해당 위치에서의 자기장의 값을 수집한다. (실험 1)
- 더 넓은 범위의 측정을 위해 1cm에서 15cm까지 0.5cm 간격으로도 센서를 이동시키며 측정한다. (실험 2)
- 4)의 과정을 단일 코일에 대해 반복하여 측정하되 측정범위를 1cm부터 26cm까지 0.5cm 간격을 측정한다. (실험 3)
- 헬름홀츠 코일의 경우도 동일하게 양 코일에 같은 방향으로 전류가 흐르게 한 뒤 1cm부터 26cm까지 0.5cm 간격으로 측정한다. (실험 4)
- 각 실험에서 어떠한 방향으로 전류를 흘렸을 지 실험 결과를 통해 유추한다.
2.3 실험에서 사용된 물리량
실험에서 사용된 물리량은 다음과 같으며, 이후 공식에서는 기호를 설명없이 사용하며 정확한 수치를 구할 때에는 아래 표의 값을 그대로 사용한다.
| 물리량, 기호 | 값 [단위] |
|---|---|
| 전류, I | 0.5(실험 1, 2) [A], |
| 1(실험 3, 4)[A] | |
| 솔레노이드의 반지름, $R_{sol}$ | 0.016 [m] |
| 원형고리의 | |
| 반지름, $R_{ring}$ | 0.057 [m] |
| 솔레노이드 | |
| 길이, $L_{sol}$ | 0.114 [m] |
| 원형고리의 | |
| 길이, $L_{ring}$ | 0.02 [m] |
| 코일의 감은수 N | 210 |
| 솔레노이드의 | |
| 길이당 감은수 n | 5614.035 [$m^{-1}$] |
undefined [표 1] 표로 정리된 물리량
2.4 실험 결과 분석
먼저 솔레노이드에서 센서와 가장 가까운 부분의 x좌표를 0이라고 하고, 단일 코일의 경우는 코일의 중심부를, 헬름홀츠 코일의 경우 두 코일의 중심점의 x좌표를 0이라 하자. 이 때 이론적 배경에서 유도한 공식들을 이용하여 임의의 x좌표에 대해서 자기장을 식으로 표현할 수 있으며, 이는 다음과 같다.
\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}nI}{2}\left(\frac{x}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}+\frac{L-x}{\sqrt{R^{2}+\left(L-x\right)^{2}}}\right)-solenoid \\ B=\frac{\mu_{0}NI}{2R}\frac{1}{\left(1+\left(x/R\right)^{2}\right)^{3/2} }-\sin gle coil \\ B=\frac{\mu_{0}NI}{2R}\left(\frac{1}{\left(1+\left(\frac{x}{R}+\frac{1}{2}\right)^{2}\right)^{3/2} }+\frac{1}{\left(1+\left(\frac{x}{R}-\frac{1}{2}\right)^{2}\right)^{3/2} }\right)-helmholtz \end{aligned}\tag{5}\]코일이나 솔레노이드의 외부에서의 자기장 크기를 측정할 때에 single coil이나 helmholtz의 경우는 x에 음수를 그대로 대입해도 되지만, solenoid의 경우 $0<x<L$의 값만을 대입할 수 있으므로, x값이 0보다 작은 경우 (즉 솔레노이드 외부의 자기장을 측정하려는 경우)에는 새로운 식을 도입하여야 한다. 이는 단순히 한 쪽 cos 값의 부호를 바꾼 것으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
\[B=\frac{\mu_{0}nI}{2}\left(-\frac{x}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}+\frac{L-x}{\sqrt{R^{2}+\left(L-x\right)^{2}}}\right)\tag{6}\]추가적으로 x축 자기장의 부호는 자기장이 좌에서 우로 향하는 방향인지 반대방향인지를 알려주는 중요한 값이나, 자기장의 크기와 방향을 따로 분석하고자 하는 본 실험에서는 자기장의 값이 음수라면 절댓값을 취하여 그 크기만을 분석하였다.
[그림 5-7] 식 (5)와 실험데이터의 대조를 위한 파이썬 코드 (각각 실험 1/2 , 3, 4)
3. 실험 결과 및 분석
3.1.1 솔레노이드의 자기장 측정
솔레노이드에 0.5A의 전류를 흘리되 측정범위를 달리 한 실험 1과 실험 2의 결과를 x축 거리에 따른 자기장의 크기 그래프로 시각화하여 분석하였다.
[그림 8, 9] 실험 1, 2에서의 x축 변위에 따른 자기장
그림 8와 9에서 0cm를 기준으로 솔레노이드가 시작되므로, 솔레노이드 전체 길이인 11.4cm의 절반, 5.7cm 부근에서 최댓값을 갖는다는 사실을 알 수 있다. 또한 솔레노이드 외부에서 식에 의해 예측된 자기장인 노란색 부분과, 솔레노이드 내부에서 식에 의해 예측된 파란색 부분의 그래프와 초록색 점으로 표시된 실제 측정값이 상당히 잘 부합한다는 사실을 알 수 있다. 전체적인 그래프의 개형으로 보았을 때 식에 의해 예측된 그래프에 대해 실제 자기장 그래프가 살짝 왼쪽으로 치우친 경향이 존재한다. 즉 x축으로 더해주는, 양의 방향으로 실제 자기장의 값을 평행이동하면 식에 의해 예측된 그래프와 더 잘 드러맞는다는 것이다. 이는 실제 20cm라고 주어진 막대의 길이가 실험에서 더 짧아진 효과라고 볼 수 있으며, 길이의 측정값 20cm가 잘못되었다기보다는 센서가 중력에 의해 아래로 기울어지면서 지면에 대해 각도가 생기면서 20cm보다 유효 거리가 짧아지면서 생긴 오차로 보인다.
3.1.2 단일 코일의 자기장 측정
1.0A의 전류를 단일 코일에 흘렸을 때의 x 좌표에따른 자기장의 값을 3.1.1과 동일한 방법으로 그래프로 도시한 결과이다.
[그림 10]단일 코일에 의한 x축 변위에 따른 자기장
앞선 솔레노이드에서의 실험과 동일하게, 식에 예측값과 거의 일치하는 값을 보였다. 단, 앞서 언급한 것과 같이 실험적으로 측정된 자기장 그래프의 개형이 이론적인 그래프보다 좌측으로 치우친 것을 확인할 수 있었다. 또한 x=0m 주변에서의 자기장의 크기가 예측값에 비해 상대적으로 더 작게 관찰되었는데, 이는 단일 고리의 x축 자체 길이를 0으로 간주하고 이론적인 자기장의 분포를 도출하였기 때문에 나타난 결과로 보인다. 이에 대한 보정은 실험 논의에서 다루도록 한다.
3.1.3 헬름홀츠 코일의 자기장 측정
1.0A의 전류를 헬름홀츠 코일에 흘렸을 때의 x 좌표에따른 자기장의 값을 3.1.1과 동일한 방법으로 그래프로 도시한 결과이다.
[그림 11]헬름홀츠 코일에서 x축변위에 따른 자기장
앞선 솔레노이드에서의 실험과 동일하게, 식에 예측값과 거의 일치하는 값을 보였다. 그러나 앞선 솔레노이드와 단일 코일에서 실험값이 이론값에 비해 x축 왼쪽으로 평행이동한 것 같은 효과는 관찰되지 않았다. 중앙에서 4cm 이상 떨어진 부근에서는 예값과 이론값이 거의 차이를 보이지 않았으나, 두 코일 사이, 즉 자기장의 크기가 거의 일정하게 유지되는 부분에서 이론값보다 실제 자기장의 크기가 현저히 작게 측정되었다는 사실을 그래프를 통해 파악할 수 있다.
4. 실험 논의
4.1 x축 offset을 고려한 자기장 그래프의 보정
대부분의 실험에서 공통적으로 x축의 왼쪽으로 데이터가 평행이동한 것처럼 편향된 결과를 확인할 수 있었다. 이러한 편향된 결과는 중력에 의해 센서가 달린 막대기가 아래로 쳐졌기 때문에 발생하는 편향으로 보인다. 아래 그림은 각도 $\theta$만큼 막대기가 아래로 기울었을 때 발생하는 오차의 효과들을 정리한 것이다.
[그림 12]$\theta$만큼 막대기가 기울 때 발생하는 오차
막대기 방향 벡터 방향의 자기장을 측정하는 실험장치이기 때문에, 막대기가 수평을 유지하지 못할 경우 측정된 자기장에도 cos$theta$만큼의 오차가 발생할 것이라는 사실을 추론할 수 있다. 이를 모두 보정하기 위해 앞선 데이터들의 길이의 비를 이용하여 $\theta$ 값을 알아내 보자. 먼저 수직 방향의 자기장 성분의 경우 중심점에서 벗어난 곳에서 해당 방향으로의 자기장이 존재할 수 있으나, 각 $\theta$가 충분히 작을 때 이러한 수직방향 자기장 성분에 의한 효과는 무시할 수 있을 정도이므로 이는 고려하지 않는다. 측정된 실험 값으로부터 자기장의 크기가 최대인 지점을 찾을 수 있다. 자기장의 크기가 최댓값인 x좌표는 cos$theta$가 곱해져 있다 하더라도 항상 동일하다. 즉 각 실험 별로 측정된 자기장의 크기가 최대인 지점이 코일의 중심점으로 위치하도록 보정하면 된다.
| 실험 | $x=B^{-1}(Max)$ | $\Delta x$[cm] | $\theta=tan^{-1}(\Delta x/0.2)$ | $\cos \theta$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 10.25cm | 0.25 | 0.0125˚ | 0.9999 |
| 2 | 10cm | 0 | 0˚ | 1 |
| 3 | 9.5cm | 0.5 | 0.0250˚ | 0.9996 |
| 4 | 13cm | 0 | 0˚ | 1 |
undefined [표 2] 기울어진 각도에 따른 오차 보정
기울어진 각도 자체가 매우 작기 때문에 자기장 값 자체에는 0.01% 미만의 영향을 미치므로 보정할 것이 없다. 그러나 실험 1과 실험 3의 경우 $\Delta x$ 값이 유의미하므로, 위에서 구한 $\Delta x$ 우측으로 평행이동 하여 조금 더 이론값과 실제 값이 부합한다는 것을 보일 수 있을 것이다.
[그림 13-14]실험 1과 3에 대한 각도 보정후 그래프
4.2 전체 실험에서의 오차율
실험 1~4까지에서 앞선 보정을 적용한 후 오차율의평균을 계산한 결과는 다음과 같다.
| 실험번호 | 1, 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| 오차율 (%) | -2.758% | -2.709% | -0.452% |
undefined 실험 1~4 모두 이론값과 실험값이 일치한다고 결론을 내릴 정도의 낮은 오차를 보였으며 특히 헬름홀츠 코일의 경우 -0.452%만의 오차율을 보이며 높은 정확성을 보였다.
4.3 전류가 흐르는 방향의 추론
실험 1~4까지에서 모든 경우에 x축의 음의 방향으로 자기장이 작용하였다. 이러한 점을 놓고 보았을 때 코일 (솔레노이드와 헬름홀츠 코일 모두) 에서 흐르는 전류의 방향은 앙페르의 오른나사 법칙에 의하여 방향을 정할 수 있다.
[그림 15] 코일에서 전류의 방향의 결정
[그림 15]은 실험 장비를 위에서 바라본 것으로 앙페르의 오른나사 법칙에 의하여 센서에서 코일을 바라보는 방향으로 보았을 때 반시계 방향으로 전류가 흐른다는 사실을 알 수 있다.
4.4 외부 오차 요인
외부에서 자기장의 크기나 방향, 혹은 대칭성을 변화시키는 요인에 의해 오차가 발생했을 가능성 또한 존재한다. 먼저 코일에 전류를 공급하는 전류공급 장치와 이 전류를 운반하는 케이블에 의한 자기장이 영향을 미쳤을 가능성이 존재한다. 또한 센서를 기준으로 y축과 z축으로 생각해 보았을 때 바닥 위에서 실험하였으므로 기하학적으로 비대칭인 상태가 만들어지게 된다. 자기장을 이용하여 자기력선을 그려보면 한쪽에서 나와 다시 같은 곳으로 들어가는 폐곡선의 형태를 해야 하므로, 솔레노이드 내부는 대칭성을 유지한다 하더라도 솔레노이드 외부에서의 비대칭성이 어느정도 솔레노이드 내부 자기장에 영향을 주었을 가능성 또한 존재한다. 마지막으로 시간에 따라 전류의 크기가 변화하였을 가능성 또한 있다. 0.5, 1.0A의 전류를 주었다고 하였지만 실제로는 약 0.03A 정도의 오차가 존재하였으며, 이러한 전류의 시간에 따른 변화는 오차 발생의 요인이다.
5. 실험 결론
본 실험을 통하여 솔레노이드, 단일 코일, 헬름홀츠 코일에서 중심축에서의 자기장의 크기를 자기장 측정 센서를 이용하여 실험적으로 측정하였으며 이를 비오-사바르 법칙에 의한 이론값과 비교하여 일치한다는 사실을 확인하였다. 최댓값과 그래프의 개형이 동일한 점, 오차율이 3% 미만으로 일정한 점을 미루어 보았을 때 실험을 통해 구한 자기장 측정값과 이론값이 부합한다는 결론을 내릴 수 있다. 또한 전류가 흐르는 방향은 x축의 양의 방향으로 바라보았을 때 반시계 방향임을 앙페르의 오른나사 법칙을 이용하여 확인하였다. 오차 요인에 관하여는 센서 자체가 기울어진 점, 외부에서 자기장을 변화시키는 요인들에 대하여 고찰하였다.
6. 참고 문헌
Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014) (Korean ver.)