[물실2] 실험06 - 전자기 유도
1. 서론
1.1 실험 목적
자속(Magnatic Flux) 는 단위 면적에 수직으로 들어오는 자기장의 크기를 의미한다. 자속이 어떠한 이유로 시간에 따라 그 크기가 변하게 되면, 이에 따라 기전력이 도선에 형성되며, 유도기전력의 방향은 렌츠의 법칙에 의해 자속의 변화를 막으려는 방향으로 형성된다. 본 실험에서는 균일한 자기장 내에서 코일이 회전하며 만들어내는 자속 변화로 인한 전위차를 측정하여 패러데이의 전자기 유도 법칙과 렌츠의 법칙에 대해 이해하고, 발전기와 모터의 원리에 대해서도 확인한다.
1.2 이론적 배경
1.2.1 렌츠의 법칙
렌츠의 법칙은 1834년 독일의 물리학자 하인리히 렌츠가 발견한 법칙으로 자속의 변화가 일어나면, 그 자속의 변화를 막는 방향으로 전류가 흘러 그 전류에 의한 자기장이 형성된다는 것이다.
[그림 1] 자속의 변화을 상쇄하려는 전류
그러나 렌츠의 법칙은 자속의 시간 변화에 대한 전류의 방향을 알려줄 뿐, 그 기전력의 값에 대한 정보를 알 수 없다. 자속의 시간에 따른 변화에 의해 생기는 기전력의 크기에 관한 정보는 패러데이의 전자기 유도 법칙을 통해 알 수 있다.
1.2.2 패러데이의 전자기 유도 법칙
패러데이의 전자기 유도 법칙은 렌츠의 법칙을 바탕으로 자속의 시간변화량의 크기가 코일에서 형성되는 유도기전력의 크기임을 설명하는 공식이다.
\[ϵ= -N\frac{dϕ}{dt}\tag{1}\]식 (1)을 통해 시간에 따른 자기 선속이 곧 그 도선이나 코일의 양단에 인가되는 유도기전력임을 알 수 있다. 이 때 음의 부호가 붙은 것은 렌츠의 법칙에 의해 자기장의 변화의 반대 방향, 즉 자기자으일 상쇄하려는 방향으로 전압이 걸리기 때문이며, N은 코일의 감은 수를 의미한다.
1.2.3 교류 발전기에서의 유도기전력
[그림 2] 전자기 유도 실험장치
본 실험에서는 일정한 자기장인 영구 자석에 의해 형성되는 자기장 B 내부에서 면적이 A이고 감은수가 N인 도체 고리를 회전시킴으로써 유도되는 기전력을 관측하고자 한다. 먼저 자속, 즉 면적벡터에 수직으로 입사하는 알짜 자기장인 Flux를 구해야 하는데, 자기장의 방향에 대해 코일의 면적벡터가 $\theta$의 각을 이루고 있을 때의 자속은 다음과 같다.
\[\begin{aligned} ϕ= BAcos\theta \\ 자속을 단순히 표현하면 자기장과 면적의 곱이므로, 자속이 시간에 따라 바뀐다는 것은 시간에 따라 자기장이 바뀌거나 시간에 따라 자기장과 닿는 면적이 변화한다는 것을 의미한다. 본 실험에서는 크기와 방향이 시간과 무관한 일정한 자기장을 만드는 영구자석을 이용하여 실험을 진행하므로, 시간에 따른 면적의 변화만을 확인하면 된다. 코일이 일정한 각속도 \omega로 회전하고 있을 때, \theta=\omega t 라고 표현할 수 있으며 (초기 위치는 0도라고 하자.) 이를 식에 대입하여 시간에 대해 미분해주게 되면 다음 식을 얻을 수 있다.\tag{2} \\ ϵ= -N\frac{dϕ}{dt}= NBA\omega sin\omega t\tag{3} \end{aligned}\tag{2}\]이는 앞서 설명한 패러데이의 전자기유도 법칙을 이용한 것으로 코일 전후의 전위차가 코일을 관통하는 자기장의 크기, 코일의 면적, 각속도의 곱을 진폭으로 하고 각진동수가 코일의 회전 각속도와 같은 사인 그래프를 그린다는 사실을 유도할 수 있다.
추가적으로, 직류, 즉 한 방향으로만 흐르는 전류를 만들기 위해서는 정류자를 이용하는 것이 중요하다. 정류자는 코일이 반바퀴 돌 때 마다 정류자와 브러시가 연결된 상태를 바꾸어 전류가 항상 한쪽 방향으로만 흐를 수 있도록 하는 장치이다. 정류자가 있는 발전기에서는 시간에 따른 전압의 그래프가 사인함수에 절댓값을 씌운 형태로 나타나게 된다. 이러한 방법 외에도 다이오드를 사용하여 전류를 한 방향으로만 흐르게 할 수도 있으며 (정류자를 사용한 경우와는 달리 반대 방향의 전류 부분이 사라짐), 컨덴서를 이용하여 전류를 평탄(flatten)하게 하여 일정한 크기의 전압이 지속적으로 공급되게 전자회로를 설계할 수도 있다.
2. 실험 내용
2.1 실험 장비
패러데이 실험장치 (코일의 감은수가 300), 직류 전원장치, 연결 도선 2개, Hantek 디지털 오실로스코프, BNC 케이블, USB 케이블 각 1개
2.2 실험 방법
2.2.1 실험 장치 셋팅
- 패러데이 실험장치, 직류 전원장치, 디지털 오실로스코프, 컴퓨터를 각각 BNC 케이블, USB 케이블을 이용하여 연결한다.
- 컴퓨터 상에서 전자기유도 프로그램을 실행하였을 때 오실로스코프의 input 단자 옆의 LED에 초록 불이 들어오는지를 확인한다.
- 오실로스코프에 AUTO 버튼을 눌러 자동으로 스케일이 조정되게 한 후 파형이 치우쳐 있을 때 Trigger의 위치를 파동의 중간 지점으로 움직여 파형이 안정되도록 한다.
- 직류 전원장치의 POWER 버튼을 눌러 전원을 켜고, 전류를 약 2A, 전압을 약 6V 이상 공급하여 패러데이 실험장치의 코일이 회전하도록 한다.
- 오실로스코프를 통해 출력되는 데이터를 통하여 코일에서의 유도기전력을 관찰하고 시간에 따른 데이터를 파일로 export 한다.
- AC와 DC OUTPUT 단자의 연결을 바꾸어가며, 전압의 크기를 조절하여 회전속력을 바꾸어 가며 유도기전력의 크기를 측정한다. 또한 자석의 극을 바꾸어 자기장의 방향을 반대로 바꾸어 전류가 흐르는 방향, 회전 방향에 어떠한 변화가 있는지 확인한다.
2.2.2 결과 분석 방법
실험 결과는 1MHz 진동수로 1초에 $10^{6}$회 전압을 측정하였기에 측정값에서 이웃한 두 실험값 사이의 시간 간격은 $10^{-6}$이다. 또한 전체 실험 데이터에서 주기적인 파동의 형태로 그래프가 그려지므로, 한 주기, 즉 1개의 파장에 대해서만 분석하여 이를 이용하여 결론을 도출하고자 한다. 한 개의 파장에 대해서는 전압의 최댓값, 최솟값, 주기와 파형의 총 4가지에 대해 정량 분석을 시행한다.
[그림 3] 진폭의 최댓값을 확인하는 방법
[그림 3]의 아래쪽 그래프는 한 파장에 대한 전체 그래프이며, 위쪽 그래프는 앞쪽, 즉 첫번째 마루의 그래프를 확대한 것이다. 확대된 위쪽 그래프를 통해 알 수 있는 사실은 전압의 값이 연속적인 분포를 띄는 것 처럼 보이지만, 사실 이산적, 즉 첫 전압과 그 다음 전압 사이에 간격이 존재하는 형태로 분포하고 있는 것을 확인할 수 있다. 즉, 최댓값이나 최솟값을 구함에 있어서 [그림 3]의 위쪽 그래프 전체 범위에 대해 최댓값을 구하고 이를 진폭으로 설정하게 된다면, 실제와는 달리 진폭이 크게 측정될 것이다. 그러므로 모든 그래프에서 최대, 최솟값을 찾기 위하여 그래프를 확대하여 한두개의 이상치가 아닌 해당 지점 근방에서의 최빈값 중 가장 크거나 작은 값을 최대, 혹은 최솟값으로 정하였다.
[그림 4] 그림 3에서 전압 최댓값을 찾는 과정
2.2.3 전자기 유도에 의한 파동함수
전자기 유도에 대한 식인 식 (3)을 바탕으로 AC OUTPUT일 때와 DC OUTPUT일 때의 그래프를 함수로 어느정도 예측 가능하다.
\[ϵ= NBA\omega sin\omega t=0.936B\omega sin\omega t\tag{4}\]| $ϵ=|NBA\omega sin\omega t|=|0.936B\omega sin\omega t$ |
=$0.936B\omega sin\omega t\left(0≤t≤\pi\right)$
\[=-0.936B\omega sin\omega t(\pi≤t≤2\pi)\tag{5}\]식 (4)는 AC OUTPUT에 연결하였을 때, 식 (5)는 DC OUTPUT에 연결하였을 때의 예상되는 그래프에 대한 함수이다. 이를 이론값으로 보고 실제 실험값이 위 사인함수와 일치하는지를 확인하고자 한다.
3. 실험 결과 및 분석
3.1.1 AC OUTPUT에서의 파형 분석 (정성)
먼저, AC OUTPUT 환경에서 전동기에 7~12V의 전압을 가하였을 때의 그래프를 각각 확인해보자.
[그림 5~10] AC OUTPUT에서 7~12V 가한 경우
그래프를 관찰하였을 때 확인할 수 있는 정성적인 사실은, 전동기에 가하는 전압이 커질수록, 전압의 진폭과 진동수는 커지고, 그래프가 더 부드럽게 연속적으로 변하며, 그래프의 형태가 사인파와 비슷한 형태의 그래프라는 점이다. 그러나 이 개형이 정확히 sin 그래프와 같지는 않은데, 특히 정확히 0V에서 변곡점이 존재하는 것이 아니라 0V의 위아래에서 변곡점이 2번 나타나는 듯한 형상을 보이고 있다. 이러한 그래프의 값을 두고 정량적으로 분석해 보자.
3.1.2 AC OUTPUT에서의 그래프 분석 (정량)
\[가장 먼저, 실험값인 전압 그래프와 대조할 수 있는 이론값으로 주어진 것은 식의 변수들 중에서 면적 A와 N을 제외하고 존재하지 않는다. 즉 B와 \omega가 주어지지 않았기 때문에 먼저 진동수를 통해서 전동기에 가해진 전압에 따른 \omega의 값을 모두 구한 다음, 진폭의 식에 구한 각진동수를 대입하여 모든 경우에 B, 즉 자기장의 크기가 원래의 전제와 같이 일정한지를 확인할 것이다.\tag{3}\]| 인가전압($V$) | 주기($\mu s$) | 진동수($s^{-1}$) |
|---|---|---|
| 7 | 117500 | 8.511 |
| 8 | 58200 | 17.18 |
| 9 | 46000 | 21.74 |
| 10 | 32800 | 30.49 |
| 11 | 23300 | 42.92 |
| 12 | 22000 | 45.45 |
undefined [표 1] AC OUTPUT 실험별 주기와 진동수
[그림 11] 인가전압 크기와 진동수의 관계
이미 알려진 사실과 같이 전동기에 인가하는 전압이 크면 클수록 진동수 또한 증가한다는 사실을 확인하였다. 또한 [그림 11]을 통해 어느 정도의 비례관계 정도에서 그치는 것이 아니라 높은 상관계수의 선형성이 존재한다는 것 또한 알 수 있다. 이러한 선형 비례관계를 통해 전자기 유도를 통해 진동수와 전자기 유도를 통해 얻어진 전압의 최대 진폭과의 관계 또한 선형관계일 것을 예측할 수 있다.
\[\begin{aligned} 유도기전력의 진폭에는 식에 의해 ϵ= NBA\omega sin\omega t 이며, N=300, A=0.00312m^{2}을 적용하여 주면, 각 실험 case 별로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. \\ ϵ_{amp, n}= 0.936B\omega_{n}\tag{6} \end{aligned}\tag{3}\]전력의 손실이나 다른 오차를 고려하지 않는다면, 식 (6)를 통해 유도기전력의 진폭이 진동수와 정비례하며, 그 비례상수를 알아내면 역으로 자석에 의한 일정한 자기장의 크기를 알아낼 수 있다.
| 인가전압($V$) | 진동수($s^{-1}$) | 진폭($V$) | 자기장($B,T$) |
|---|---|---|---|
| 7 | 8.511 | 3.1373 | 0.3938 |
| 8 | 17.18 | 5.3333 | 0.3316 |
| 9 | 21.74 | 6.9020 | 0.3392 |
| 10 | 30.49 | 9.7255 | 0.3408 |
| 11 | 42.92 | 11.922 | 0.2967 |
| 12 | 45.45 | 14.431 | 0.3392 |
undefined [표 2] 유도기전력의 진폭과 진동수의 관계
[그림 12] 유도기전력 진폭과 진동수의 관계
[표 2]에서 자기장의 경우 식 (4)에 주어진 값들을 대입하여 B의 값을 추론한 것이며, [그림 12]의 추세선으로부터 대략적인 자기장의 크기가 0.3T임을 알 수 있다. 이번에는 식 (4)에 따라 진동수가 진폭에 정비례함으로(이론적으로는) 절편으로 0으로 맞추어 원점을 지나는 직선에 회귀시켰다.
본 실험 분석을 통해 전동기에 가해지는 전압과 모터의 진동수에는 양의 상관관계, 특히 선형적인 관계가 있으며 그 진동수에 의해 유도되는 유도기전력의 진폭 또한 식 (4)에 따라 정비례하여 이를 통해 B, 즉 자기장의 크기를 구하는 것에 성공하였다.
3.1.3 DC OUTPUT에서의 파형 분석 (정성)
AC에서와 같이 DC OUTPUT에서의 파형 또한 그래프를 통해 먼저 정성적으로 분석하자.
[그림 13~18] DC OUTPUT에서 7~12V 가한 경우
AC OUTPUT과 비교하여 DC OUTPUT 상태에서 유도기전력의 그래프는 진폭, 즉 양수 전압의 최댓값은 동일하지만, 전압의 최솟값은 모두 0V로 고정된 것을 볼 수 있다. 이는 정류자에 의해 전압이 모두 한쪽 방향으로 고정되었기 때문이다. 또한 이론적으로 그래프의 형상이 sin 함수에 절댓값을 씌워둔 그래프의 개형이 나와야 하는데, 이는 0V 부근이 위쪽 peak보다 더 뾰족하다는 것을 통하여 그 유효성을 알 수 있다.
3.1.4 DC OUTPUT에서의 그래프 분석 (정량)
앞선 AC OUTPUT에서 이미 주파수와 진폭에 대한 분석을 하였으며, DC OUTPUT에서 AC OUTPUT과 진폭의 크기가 동일하므로, 이에 대한 분석은 제외하고 DC OUTPUT에서의 주기의 2배가 AC OUTPUT에서의 주기와 같은지를 확인하였다.
| 인가전압($V$) | AC 주기($\mu s$) | DC 주기($\mu s$) | 비율(AC/DC) |
|---|---|---|---|
| 7 | 117500 | 60000 | 1.958 |
| 8 | 58200 | 29400 | 1.980 |
| 9 | 46000 | 22400 | 2.054 |
| 10 | 32800 | 16200 | 2.025 |
| 11 | 23300 | 12720 | 1.835 |
| 12 | 22000 | 10900 | 2.018 |
undefined [표 3] AC와 DC의 주기 비율
AC와 DC에서의 주기 비율은 모두 2에 매우 근접한 값으로 DC OUTPUT에서의 그래프는 AC에서의 그래프를 절댓값 씌운 개형이라는 것을 증명하고 있다.
3.1.5 전자기 유도 전후 전압 분석
먼저, DC OUTPUT의 개형은 AC OUTPUT의 개형의 음수 부분을 위로 뒤집은 것이며, 교류 전압의 일률을 확인할 때에는 전압의 RMS 값을 이용하게 되므로, 전압 자체의 부호는 의미가 없게 된다. 그렇기에 AC OUTPUT에서의 전압의 RMS값 만을 분석에 활용하였다.
데이터의 개수가 50만개가 넘기 때문에 전압의 RMS값을 구할 때 AC OUTPUT 값을 사인 함수에 이론적으로 대응 시킨 것을 이용하여 사인함수의 RMS, 즉 실효값과 실제 전압을 비교해보도록 하자.
\[V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}∫V^{2}\left(t\right)dt}=\frac{V}{\sqrt{2}}\tag{7}\]| 인가전압($V$) | AC 전압 실효값 |
|---|---|
| 7 | 2.219 |
| 8 | 3.772 |
| 9 | 4.881 |
| 10 | 6.878 |
| 11 | 8.431 |
| 12 | 10.206 |
undefined [표 4] 인가 전압과 전자기 유도 전압의 실효값
전동기와 코일의 자체 저항이나 흐르는 전류에 대한 정보를 알고 있지 않으므로, [표 4]의 전압을 통해서 에너지에 대한 정보를 얻을 수는 없다. 그러나 전동기와 발전기는 정확히 반대의 과정을 거치게 되므로, 정성적으로 두 과정을 거쳤을 때 어느정도의 에너지가 손실됨을 알 수 있다. [표 4]를 통해서는 인가한 전압에 비해 전자기유도를 통해 구해지는 전압의 실효값이 더 작음을 알 수 있다.
4. 실험 논의
4.1 AC 발전기에 대한 논의
4.1.1 완벽한 sin 개형이 아닌 이유
AC 발전기에서 유도되는 유도기전력의 그래프는 패러데이의 전자기 유도 법칙에 의해서 완벽한 사인 곡선을 그려야 한다. 그러나 실제 그래프를 보면 0V, 즉 사인 함수의 $2n\pi$에 해당하는 부분 부근에서 그래프의 변곡점이 2곳으로 바뀌는 것을 알 수 있다. 이는 코일의 자체 두께가 존재하기 때문으로 생각할 수 있다.
[그림 19] 실제 통과 자기장의 면적이 줆
코일의 두께가 0이라고 생각하면 실제 코일의 면적과 동일한 면적의 영역에 자기장이 통과하지만, 두께가 존재할 경우 원래의 면적보다 더 좁은 영역에만 자기장이 통과하게 된다. 또한 두께가 존재할 경우 회전축을 관통하는 고리의 경우 원래의 전자기 유도 식을 통해 해당 고리에서 만들어지는 전압을 알 수 있지만, 회전축을 포함하지 않는 고리의 경우 해당 고리는 회전축을 기준으로 공전하는 모양새를 띄게 되어 그 오차에 따른 식을 새로 세워줘야 한다. 이번 실험에서 사용한 고리는 감은수가 300으로 어느정도의 두께가 있어 이를 무시할 수 없는 수준이다. 즉 이에 대한 보정이 필요하다고 볼 수 있다.
4.1.2 입력전압과 각진동수, 유도기전압 관계
코일을 돌려주는 전동기의 입력전압과 각진동수, 유도기전력은 각각 선형적인 관계를 보였으며, 모터 또한 DC 전류를 받아 자기장 속에 들어 있는 코일을 돌려 회전시킨다는 것을 알 수 있다. 추가적으로 전동기에 가해준 전압보다 코일에서 생성된 유도기전력의 실효값이 더 작다는 사실을 알 수 있지만, 정확한 저항이나 전류 값이 주어지지 않았음으로 이를 통해 에너지 손실이 일어났다고 보기는 어렵다.
4.2 DC 발전기에 대한 논의
4.2.1 DC OUTPUT에서의 형상
DC OUTPUT에 연결한 경우는 AC OUTPUT에 연결한 경우와 비교하여 정류자가 존재하므로, 반대 방향으로 흐를 때 전압이 역방향으로 걸리는 것을 정방향으로 바꾸어주는 역할이 수행된다. 즉 AC 그래프에서 볼 수 있는 사인 함수를 절댓값을 씌운 형태를 DC 그래프에서 확인할 수 있었으며, 0V 근방에서 그래프의 기울기가 순간적으로 바뀌어 뾰족한 형태를 띄는 것을 확인할 수 있었다. 또한, AC발전기에서 얻었던 진폭과는 동일하며, 주기의 경우 반복되는 부분의 길이가 절반으로 줄었기 때문에 DC 발전기의 경우가 AC 발전기의 경우보다 1/2 로 주기가 줄었음을 알 수 있다.
4.3 전체 실험에서의 오차원인
오실로스코프의 최소 전압의 측정 단위가 상대적으로 커 그래프를 확대해 보았을 때 연속적인 파동 형태가 아닌 이산적인 계단 형태로 그래프가 나타났기 때문에, 최고 혹은 최저 전압, 즉 진폭을 찾을 때 가장 높은 지점에서의 최빈값을 이용하였으며, 주기를 구할 때에도 높거나 낮은 지점의 중점을 이용하여 시작점과 종점을 정하였기에 주기에 있어서도 어느정도의 오차가 있었다고 본다. 그러나 이를 고려하고도 신뢰수준 95%정도의 높은 신뢰도로 선형성을 보였기 때문에 시간에 따라 코일의 자속변화가 곧 유도기전력의 크기라는 패러데이 법칙을 충분히 증명하였다고 말할 수 있다.
5. 실험 결론
본 실험을 통해 패러데이의 전자기 유도와, 렌츠의 법칙을 실험적으로 오실로스코프를 통한 파형 관측으로 이해하였으며, DC OUTPUT의 개형이 AC OUTPUT의 함수에 절댓값을 씌운 것과 같다는 사실을 통해 정류자가 한쪽 방향으로만 전류가 흐르도록 한다는 것을 확인하였다. 전동기에 인가된 전압과 코일의 회전 각속도, 코일의 유도기전력이 서로간에 선형적인 관계를 보여 세 변수들이 모두 전자기 유도 법칙에 의해 선형 비례 관계를 가지는 것을 실험적으로 증명하였다.
6. 참고 문헌
Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014) (Korean ver.)