[물실2] 실험07 - 빛의 진행
1. 서론
1.1 실험 목적
빛은 공간상을 진행할 때 기본적으로 직진하나, 만나는 매질의 종류나 그 변화에 따라 굴절, 반사, 회절 등의 다양한 현상을 보인다. 이번 실험에서는 다양한 광학 기구들과 장치 하에서 빛의 진행을 살펴보고 볼록 렌즈와 오목 렌즈의 초점거리를 이해한다. 또한, 빛의 파동성에 기반한 이중 슬릿과 단일 슬릿 실험을 진행하고 빛의 파동성과 간섭, 회절 현상에 대해 직관적으로 이해한다.
1.2 이론적 배경
1.2.1 빛의 반사와 굴절
빛의 입자성을 고려하지 않았을 때 빛은 고전역학적으로 서로 수직한 전기장과 자기장의 진행, 즉 전자기파이다. 그러나 거시적인 관점에서 빛은 방향을 가지고 공간상을 진행하는 광선의 형태로 간주할 수 있다.
[그림 1] 빛의 반사와 굴절
빛은 동일한 굴절률을 가진 일정한 매질 공간을지나갈 때 직진한다. 그러나 이러한 빛의 직진성은 다른 굴절률을 가진 매질을 만나면 바뀌게 되는데, 두 매질간의 경계선에서 반사와 굴즐하게 된다. 경계면의 수선인 법선에 대해 입사, 반사, 굴절하는 광선이 이루는 각을 각각 입사각, 반사각, 굴절각이라 한다. 반사의 경우 입사각과 반사각은 항상 동일한 각을 가지며, 특별히 경계면이 매끄러워 평행하게 입사한 광선이 균일하게 다시 반사될 때 정반사, 그렇지 않고 경계면이 불균일하여 사방으로 빛이 반사되는 것을 난반사라 부른다. 한편, 굴절의 경우 최소 시간의 법칙에 따라 빛의 경로가 정해지는데, 빛이 이동하는 경로의 길이가 아닌, 빛이 이동하는데 걸리는 시간을 최소화하는 경로로 이동한다는 것이다. 이러한 최소 시간의 법칙은 간단한 미분을 통하여 이를 이해하고 값을 구할 수 있으며, 스넬의 법칙 또한 이로부터 유도할 수 있다. 스넬의 법칙이란, 두 매질에서의 굴절률의 비가 입사각과 굴절각의 사인 값의 비의 역수와 같다는 법칙이다.
\[n_{1}\sin \theta_{1}= n_{2}\sin \theta_{2}\tag{1}\]이 식을 통하여 밀한 매질에서 소한 매질로 빛이 이동할 때 $\theta_{1}$을 잘 조절하면 $\theta_{2}$의 값이 90도가 되는 각을 찾을 수 있다. 이 $\theta_{1}$을 임계각, $\theta_{c}$라고 부르게 되며, 임계각보다 더 큰 각도로 입사시키게 되면 스넬의 법칙에 따라 굴절각의 sin값이 1을 넘어가게 되어 실수 각도가 존재하지 않으며, 이 때는 모든 빛이 굴절하지 않고 반사하게 된다. 이 때를 전반사라고 한다.
1.2.2 얇은 렌즈에 의한 상
렌즈는 굴절에 의해 상을 만드는 광학기기로, 렌즈의 중심을 지나며 렌즈 면과 수직인 광축의 근처에서만 빛의 진행을 고려하였을 때 (혹은 광선에 비해 렌즈의 폭이 매우 클 때) 기하학적으로 원호의 길이를 삼각형의 높이로 근사하는 등의 기하학적 근사를 사용할 수 있다. 이를 근축 근사라 부르며, 이러한 근사는 주축 근처를 통과하는 광선에 대해서 매우 잘 부합한다.
[그림 2] 얇은 렌즈에서의 물리량 설명
[그림 2]로부터 $\Delta I12, \Delta F_{2}13$가 닮음이며, $\Delta O12, \Delta F_{1}32$ 또한 닮음이므로, 이로부터 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
\[\frac{O+I}{i}=\frac{O}{f} , \frac{O+I}{p}=\frac{I}{f}\tag{2}\]렌즈와 물체 사이의 거리를 p, 초점거리를 f, 상과 렌즈 사이의 거리를 i라고 하고 식 (2)를 변변 더하영 정리하면, 다음과 같은 공식이 성립한다.
\[\frac{1}{p}+\frac{1}{i}=\frac{1}{f}\tag{3}\]이 때 초점거리 f는 근축 근사에 의해 렌즈의 구면반지름 R의 절반이며, [그림 2]에서 물체의 끝 지점으로부터 주축에 평행한 빛, 렌즈의 중심을 관통하는 빛, 렌즈의 물체 쪽 초점을 향하는 세 줄기의 빛에 대해서 분석해보자. 닮음, 합동과 앞서 설명한 근사를 이용하면 식 (3)을 얻어낼 수 있다. 즉 물체와 렌즈의 거리와 렌즈 자체의 값인 f를 알고 있다면 상이 어떤 지점에서 생기는지를 수식적으로 계산할 수 있다. 오목 렌즈에 의한 상 또한 위와 같은 방법으로 닮음을 이용하여 구할 수 있는데, 이 때 식 (3)에 의해 i의 값이 음수일 수도 있다. 이는 실제로 빛이 모여 상이 생기는 것이 아니라 빛의 진행경로를 이어서 만들어진 가상의 상, 즉 허상이다. 또한 식 (3)를 통하여 물체의 크기와 상의 크기의 비인 배율을 알 수 있는데, 이는 물체와 렌즈의 거리 p와 상-렌즈의 거리인 i의 비율로 나타낼 수 있다.
1.2.3 복합 렌즈에 의한 상
동일한 광축에 여러 개의 렌즈를 중첩할 경우 이로 인한 상은 빛이 지나는 광로를 따라 먼저 만나는 렌즈부터 차례로 식 (3)을 적용하고, 이 때 도출된 상의 위치와 그 크기를 다음 렌즈에서의 물체의 위치와 크기로 보고 계산을 반복하면 된다. 이번 실험에서 오목 렌즈의 경우 허상이 발생하여 이를 스크린에 투영하여 상을 관찰할 수 없으므로 볼록렌즈를 추가한 복합 렌즈를 만들어 실상을 보고자 하는 것이 목표이다.
[그림 3] 본 실험에서 사용하는 복합 렌즈 도식
[그림 3]에서 물체에서 나온 빛이 볼록렌즈를 가장 먼저 통과하므로, 볼록렌즈에 대해 식 (3)을 적용하자.
\[\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{i_{1}}=\frac{1}{f_{1}}\tag{4}\]이 때 볼록 렌즈에 의한 상인 I1이 오목 렌즈의 뒤편에 생기는 것을 알 수 있다. 이 때 볼록렌즈에 의한 상과 오목렌즈 사이의 거리가 오목렌즈와 물체와의 거리가 되므로, 이를 적용하여 렌즈 방정식을 적용할 수 있다.
\[\frac{1}{d-i_{1}}+\frac{1}{i_{2}}=\frac{1}{f_{2}}\tag{5}\]이 때 f2에서의 초점거리는 발산렌즈이므로 부호가 -가 된다. 이를 유념하여 i2를 식 (4, 5)의 연립을 통해 결정해줄 수 있다. 이 때 d는 두 렌즈간의 거리이다.
1.2.4 이중 슬릿에서 빛의 간섭
광학 기기의 크기와 빛의 파장을 비교하였을 때 유의미한 크기 차이가 존재하면 빛을 광선으로 간주하고 설명할 수 있으나, 빛의 파장과 비슷한 크기의 구명, 즉 슬릿을 뚫은 경우 이를 광선으로 간주할 수 없다. 균일한 빛이 쏘아지며, 슬릿 사이의 거리가 d인 이중 슬릿에서의 상황을 살펴보자.
[그림 4] Young의 이중 슬릿 실험
양 쪽 슬릿을 통해 입사하는 빛이 동일한 곳에 도달하면, 두 빛의 파동의 위상이 동일하면 보강 간섭하고, 위상차가 $\pi$이면, 상쇄 간섭이 일어나 빛이 닿지 않은 것과 같다. 초기 위상차가 없는 동일한 빛이 S1, S2에 입사하여 스크린 P에 도달하였을 때 경로차는 $dsin\theta$로 표현할 수 있다. 이 때 P점이 밝은 무늬라면 그 경로차가 파장의 정수배, 어두운 무늬라면 파장의 반정수배가 된다. 이러한 경로차를 위상차로 변환한 다음, $\sin \theta$는 작은 각도에서 $\tan \theta$로 근사할 수 있으므로, 근사 후 이를 정리하면,
\[\begin{aligned} y_{m}=L\frac{\lambda}{2d}(2n) \\ y_{m}=L\frac{\lambda}{2d}(2n+1)\tag{7} \end{aligned}\tag{6}\]식 (6)은 밝은 무늬, 식 (7)는 어두운 무늬 사이의 간격이다. n에는 0부터 자연수를 차례로 대입하면 된다. 회절현상을 배제하였을 때 스크린의 중심부와 가장자리 모두에 간격이 일정하고 원점에 대해 동심원을 그리는 간섭 무늬가 나타날 것을 예상할 수 있다. 또한, 주어진 물리량들을 이용하여 이중 슬릿의 간격을 구할 수 있다. 측정을 통해 ym을 구하고, 스크린 사이의 거리는 측정가능한 거시적 물리량이므로 식의 대입을 통해 슬릿 사이의 거리 d를 예측할 수 있다.
1.2.5 단일 슬릿에서 빛의 회절
[그림 5] 단일 슬릿에 의한 회절
마지막으로 회절은 빛이 좁은 틈을 지날 때 그 진행 방향이 부채꼴로 넓게 퍼지는 현상을 의미하는데, 이 또한 앞선 방법과 동일하게 계산하여 회절무늬 간격을 통해 구멍의 크기 d를 구할 수 있다. 앞선 간섭 현상에서는 양쪽 슬릿을 통과한 빛 사이에 광로차가 생기고, 이로 인해 간섭이 발생하는 경우였지만 단일 슬릿의 경우 하나의 틈에서 위쪽과 아래쪽을 통과하는 빛의 광로차가 간섭을 발생시킨다. 이러한 점을 제외하고 나머지 유도 과정은 모두 이중 1.2.4와 같은 방법으로 진행해주면 간섭에서의 무늬 간격을 구할 수 있다.
\[x_{m}=L\frac{\lambda}{a}(m)\tag{8}\]또한 이 때 스크린에서 원점으로부터 떨어진 거리에 따른 빛의 세기를 구할 수 있는데,
\[I=I_{0}\left(\frac{\sin \alpha}{\alpha}\right)^{2}, \alpha=\frac{\pi dsin\theta}{\lambda}\tag{9}\]로 구할 수 있다. 즉 빛의 세기 혹은 회절무늬의 분석을 통하여 단일 슬릿의 크기 d를 구할 수 있다.
2. 실험 내용
2.1 실험 장비
광학대 1개, 다이오드 레이저, 램프, 거울/반원형 프리즘, 극좌표계 원판과 지지대, 볼록/오목 렌즈, 화살표 물체, 회절판, 눈금 스크린, 눈금자, 3면 거울, 3면 프리즘
2.2 실험 방법
2.2.1 빛의 반사 실험
- 광학대의 수평을 조절하고, 다이오드 레이저와 원반을 설치한다. 광학대의 축과 평행하도록 방향을 잘 조정한다. 레이저를 끄고 거울을 원반의 중심에 놓는다. 다시 레이저를 켜고 원반을 돌리며 입사광선과 반사광선을 확인한다.
- 먼저 극좌표판에 3면 거울을 이용하여 레이저를 켜고 반사되는 레이저가 나란히 정렬되도록 한다. 이후 레이저의 전원을 끄고 각도를 0~75도로 바꾸어 가며 설정한 뒤, 실험을 반복한다.
- 평면이 아닌 오목 및 볼록 거울을 이용하여 2)와 같은 방법으로 각도를 바꾸어 가며 실험을 반복한다.
2.2.2 빛의 굴절 실험
- 실험 진행 전 2.2.1.과 같이 광선이 0도를 지나는 궤적을 그리도록 프리즘을 정렬한다.
- 반원형 프리즘의 각도를 바꾸어 가며 입사각과 반사각을 측정한다. 이 때 프리즘의 각도를 바꿀 때에는 항상 레이저의 빛을 끄고 진행한다.
2.2.3 전반사와 임계각 실험
- 전반사 실험의 진행을 위해 프리즘이 원형 판의 중심을 지나도록 한다.
- 2.2.2.의 실험과 반대로 레이저의 진행방향과 반대로 진행되게 각도를 맞춘다.
- 각도를 넓은 범위에서부터 좁혀가며, 빛이 통하지 않기 시작하는 임계각을 찾는다.
2.2.4 볼록 렌즈와 오목 렌즈
- 광학 레일에 LED 광원, 이미지, 볼록렌즈, 스크린의 순서로 정확히 정렬한다.
- 광원을 켜고 스크린을 움직이며 스크린이 가장 선명할 때의 길이를 읽고, 원본 이미지와 스크린에 맺힌 이미지의 배율을 비교한다.
- 이미지와 렌즈 사이의 위치를 조정하며 상이 가장 선명하게 맺히는 위치를 찾는 과정을 반복한다. 이후 p, i, m 값을 비교한다.
- 오목 렌즈 실험에서도 동일한 방법으로 진행하되, LED 광원, 이미지, 볼록 렌즈, 오목 렌즈, 스크린 순서로 배치하고, 오목렌즈는 허상이 맺히므로, 볼록렌즈를 이용하여 실상을 만들어 진행한다.
2.2.5 간섭과 회절 실험
- 레일에 레이저, 회절격자판, 스크린의 순서로 배치한다.
- 레이저와 스크린의 중심을 맞춰준 다음 레이저를 켜고 단일 슬릿을 이용하여 스크린에 표시된 무늬를 관찰한다.
- 같은 방법으로 이중 슬릿을 이용하여 스크린에 표시된 무늬를 관찰한다.
2.3 결과 분석
2.3.1 반사, 굴절, 전반사와 임계각
반사, 굴절, 전반사와 임계각 실험 모두에서는 극좌표계 원판 위에서 입사, 반사, 굴절되는 각을 측정하는 것이 가장 큰 목적이므로, Tracker 프로그램의 각도기 기능을 이용하여 입사각, 반사각, 굴절각을 측정하였다.
[그림 6] Track 각도기 기능을 이용한 입사/반사각
프리즘을 이용한 굴절률과 임계각 측정 실험에서도 위와 같은 방법으로 Tracker를 이용하여 각도를 측정하였으며, 구해진 입사각과 굴절각을 스넬의 법칙에 대입하여 굴절률을 알아내고 실험 결과를 분석해 임계각을 유추하여 이를 통하여 두 가지 방법으로 굴절률을 확인할 것이다.
2.3.2 볼록렌즈와 오목렌즈의 초점거리
볼록 렌즈와 오목 렌즈의 초점 거리 실험에서는 실험 결과 데이터로 물체의 위치, 렌즈의 위치, 상의 위치와 물체의 크기, 상의 위치가 주어졌다. 이를 이용하여 렌즈와 물체와의 거리, 렌즈와 상과의 거리인 p와 i를 구하고, 이 값들은 식 (2)에 대입하여 이론적인 오목렌즈와 볼록 렌즈의 초점거리를 구한다. 오목렌즈의 초점거리의 경우 볼록렌즈와 오목 렌즈를 모두 사용한 경우이므로, 볼록렌즈 실험을 먼저 분석하여 이론값과 실제가 일치한다는 타당성을 지니고 오목 렌즈의 분석에 임해야 할 것이다. 마지막으로 상의 크기의 비율을 구하여 이를 각 실험 별 배율로 도출하고, 앞서 구한 p와 i를 통해 구할 수 있는 배율과 같은 값을 가지는지를 확인한다.
2.3.3 단일, 이중 슬릿에서의 회절과 간섭
먼저 슬릿 실험의 경우 스크린에 어떠한 무늬가 생겼는지를 사진 데이터로 받을 수 있었다. 이를 통하여 무늬 사이의 간격을 사진에 제시된 눈금자를 통하여 구하고, 이를 앞서 유도한 식에 대입해 슬릿 사이의 간격이나 슬릿 자체의 크기를 구하고 이를 이론값과 비교하는 실험을 거친다. 단, 이중 슬릿의 간섭 실험에서 각 슬릿 구멍의 자체 크기에 대한 회절을 고려하게 될 경우 실험 분석이 매우 어려워지므로, 슬릿 구멍 하나에 의한 회절 현상은 회절 실험에서만 다루고 간섭 실험에서는 그 영향을 배제하기로 한다.
3. 실험 결과 및 분석
3.1.1 삼면 거울에 의한 입사각과 반사각 결정
먼저, 삼면 거울 즉 볼록 거울과 오목 거울, 평면 거울에 의한 입사각과 반사각을 결정하고 이 값들이 서로 같은지를 확인하였다.
| Case | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 입사각($°$) | 54.7 | 79.6 | 9.5 | 60.2 | 45.4 | 30.1 |
| 반사각($°$) | 55.6 | 81.0 | 10.1 | 61.6 | 44.9 | 30.0 |
undefined [표 1] 평면 거울에서의 입사각과 반사각
| Case | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 입사각($°$) | 29.2 | 44.9 | 60.3 | 75.0 |
| 반사각($°$) | 24.0 | 45.7 | 59.5 | 73.8 |
undefined [표 2] 오목 거울에서의 입사각과 반사각
| Case | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 입사각($°$) | 39.7 | 39.9 | 60.0 | 29.8 |
| 반사각($°$) | 39.4 | 41.9 | 62.7 | 31.1 |
undefined [표 3] 볼록 거울에서의 입사각과 반사각
실험을 통해 삼면 거울에서의 입사각과 반사각을 구하였으며, [표 1~3]의 값을 통해 알 수 있듯이 입사각과 반사각의 크기는 거의 일치하는 것을 알 수 있다. 다만, 평면거울에서의 입사각과 반사각의 크기가 거의 일치하는 반면, 오목이나 볼록 거울의 경우 어느 정도의 오차가 존재하였다. 이는 평면거울의 경우 극좌표 판을 이용하여 정확하게 정렬을 할 수 있지만, 오목 거울과 볼록 거울의 경우 그 경계선이 모호하여 거울을 배치하는 데에 어려움이 있었을 것으로 예상된다. 평면거울에서의 입사각에 대한 반사각의 오차율의 평균값은 -2.28%, 오목거울에서의 오차율의 평균값은 -4.74%, 볼록거울에서의 오차율의 평균값은 3.28%로 평면거울에서의 오차율이 다른 거울에서의 오차율보다 낮은 것을 확인하였다. 다만 오목거울에서의 이상치라고 간주할 정도로 큰 오차를 보이는 Case가 존재하는 점, 양의 오차율과 음의 오차율을 평균내는 과정에서 상쇄되면서, 실제 차이의 정도를 정확히 오차율의 평균이 짚어주지 못하는 점 등이 본 실험 결과의 한계점이며 실험 결과 통해 얻어낸 낮은 오차율이 이 실험의정확성을 보증하지는 못한다.
3.1.2 프리즘에 의한 굴절각과 임계각 결정
프리즘에 레이저 빛을 입사하였을 때 반사, 굴절하는 각도를 실험을 통해 구하였다. 반사각의 경우 앞선 3.1.1.의 실험에서 입사각과 반사각의 크기가 같음을 실험 하였으므로 본 실험에서는 입사각과 반사각이 아닌 굴절각에 초점을 맞추어 실험을 분석하였다.
| Case | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 입사각($°$) | 43.2 | 39.9 | 30.1 | 9.9 | 79.8 | 42.1 | 42.9 |
| 굴절각($°$) | - | 73.8 | 49.8 | 15.1 | - | 84.3 | - |
| Case | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
| 입사각($°$) | 31.1 | 44.9 | 20.0 | 28.6 | 35.4 | 0 | |
| 굴절각($°$) | 48.3 | - | 29.1 | 45.4 | 59.7 | 0 |
undefined [표 4] 프리즘에서의 입사각과 굴절각
[표 4]에서 전반사가 일어나 굴절광선을 관찰할 수 없었던 경우는 – 표시를 하였다. [표 4]의 입사각과 굴절각에 대한 데이터를 스넬의 법칙에 대입하여 프리즘의 굴절률을 구하고자 한다. 이 때 전반사가 일어나 굴절이 일어나지 않은 경우는 제외하였다.
| Case | 입사각($°$) | 프리즘 굴절률 |
|---|---|---|
| 2 | 39.9 | 1.403 |
| 3 | 30.1 | 1.523 |
| 4 | 9.9 | 1.515 |
| 6 | 42.1 | 1.484 |
| 8 | 31.1 | 1.445 |
| 10 | 20.0 | 1.422 |
| 11 | 28.6 | 1.487 |
| 12 | 35.4 | 1.490 |
undefined [표 5] 렌즈의 입사각에 따른 프리즘 굴절률
[표 5]의 결과에 따르면 프리즘의 굴절률은 입사각에 상관없이 1.4~1.5의 값을 보이고 있다. [표 5]에서 구한 프리즘의 굴절률의 평균값은 1.471이다.
둘째로, 전반사에 의한 임계각을 구하고 이를 이용하여 프리즘의 굴절률을 구해보자. [표 4]에서 굴절각이 90도에 가까워지는 경우와 전반사가 일어나 굴절이 일어나지 않은 경우를 살펴보면, Case 6의 입사각 42.1$°$에서 굴절각 84.3$°$, Case 입사각 42.9$°$에서 전반사가 일어났으므로 임계각은 확실히 42.1$°$와 42.9$°$ 사이에 존재한다. 해당 각도 범위에 대한 굴절률은 1.4915와 1.469 사이의 값으로 굴절률 또한 범위로 주어진다. 어느 정도 가정에 따라 임계각의 대푯값을 앞선 두 범위의 중간 값인 $\theta_{c}=42.5°$로 볼 수 있고 이 때의 굴절률은 1.480이다. 즉 입사각과 굴절각을 스넬의 법칙을 적용해서 구한 1.471이라는 굴절률과 임계각을 이용해 구한 1.480이라는 굴절률 값이 거의 일치한다는 사실을 알 수 있다.
3.1.3 볼록렌즈에서의 초점거리와 배율 결정
볼록 렌즈에서의 초점거리를 결정하기 위해 데이터에서 물체와 렌즈와의 거리, 상과 렌즈와의 거리를 통하여 초점거리의 역수를 구하고, 이를 실험에서 사용한 렌즈의 실제 초점거리인 6.5cm의 역수인 0.1538과 비교하였다.
| p(cm) | i(cm) | 1/f(cm-1) | 오차율(%) | f(cm) |
|---|---|---|---|---|
| 11 | 12 | 0.1742 | 13.258 | 5.74 |
| 16 | 7 | 0.2054 | 33.482 | 4.87 |
| 7 | 5 | 0.3429 | 122.857 | 2.92 |
undefined [표 6] 볼록 렌즈에서 초점거리의 결정
[표 6]에서 p와 i값을 렌즈 방정식에 대입하여 1/f와 f를 구하였다. 이 때 예상되는 값인 0.1538과는 그 값이 다르게 도출되었는데, 특히 마지막 case의 경우 0.3429로 오차율이 100%를 넘어 실험의 결과가 부정확함을 알 수 있다. 마지막 경우를 이상치로 간주하여 제외하고 1/f의 평균은 0.1898, 평균값에 대한 초점거리는 5.269cm로 6.5cm라는 볼록렌즈의 실제 초점거리보다 작은 값을 얻을 수 있었다.
| p(cm) | i(cm) | 상 크기비 | i/p | 오차율(%) |
|---|---|---|---|---|
| 11 | 12 | 0.7 | 0.916 | 30.9 |
| 16 | 7 | 1.65 | 0.4375 | -73.5 |
| 7 | 5 | 1.2 | 0.7143 | -40.5 |
undefined [표 7] 볼록 렌즈에서 배율의 결정
p와 i값의 비와 실제 상의 크기 비율을 비교하였을 때 각 실험의 Case마다 큰 오차율을 보였다.
3.1.4 오목렌즈에서의 초점거리 결정
오목렌즈 실험의 경우 오목렌즈 만으로 실험을 진행하면 허상이 나와 상을 스크린에 투영할 수 없으므로 볼록렌즈 하나를 추가하여 복합 렌즈를 만들어 그 실상을 추정하였다. 복합 렌즈에 대한 렌즈 공식은 이론적 배경에 기술한 방법을 그대로 이용하였으며, 이번에도 오목렌즈에 대한 1/f 값을 실제 오목렌즈의 1/f값인 -0.0676과 비교하였다.
| p(cm) | i(cm) | 1/f(cm-1) | 오차율(%) | f(cm) |
|---|---|---|---|---|
| -19 | 20 | -0.008 | -86.9 | -113.3 |
| -9 | 13 | -0.034 | -49.4 | -29.25 |
| -10 | 19 | -0.047 | -29.9 | -21.11 |
undefined [표 8] 오목 렌즈에서 초점거리의 결정
[표 8]에서 오목렌즈에 대한 p와 i값을 구하고, 이를 렌즈 방정식에 대입하여 1/f를 구하였다. 이 값 또한 실제 오목렌즈의 1/f 값과는 차이를 보였으며, 특히 첫번째의 경우 -0.008이라는 값은 무려 -86.9%의 오차율을 보였다. 위와 같은 방법으로 첫 번째 경우를 제외한 1/f 값의 평균은 -0.0405로 이에 대한 오목렌즈의 초점거리 실험값은 -24.691cm이다. 이는 실제 오목렌즈의 초점거리인 -14.8cm와는 큰 차이를 보였다.
3.1.5 단일 슬릿에서의 회절 무늬 분석
\[단일슬릿과 이중 슬릿 모두 동일한 실험 장치에 대해서 슬릿의 종류만 바꾸어 실험하였는데, 이 때 스크린과 슬릿 사이의 거리는 55cm로 일정하다. 먼저, 식로부터 단일 슬릿에서의 첫 번째 어두운 무늬가 나타나는 지점과 광축, 슬릿의 중심이 이루는 각을 \theta라 하였을 때 m\lambda=dsin\theta의 관계를 가짐을 알 수 있다. 이 때 \theta의 값이 매우 작으므로, \sin \theta≈\tan \theta의 근사를 사용하여 x=L\frac{m\lambda}{a}이라 할 수 있다.\tag{9}\]
[그림 7] 단일 슬릿에서의 첫번째 어두운무늬 간격
또한 레이저의 파장이 650nm이며, L=55cm 이며 첫번째 어두운 무늬이므로 m=1임을 고려하여 값들을 대입하면, 슬릿의 크기 $a=71,500nm=71.5\mu m$임을 알 수 있다. 같은 방법으로, 두번째, 세번째 어두운 무늬까지의 간격 또한 동일하게 0.5cm의 배수로 나타나 m=2, 3, 4일 때에도 동일한 결과를 얻을 수 있다.
3.1.6 이중 슬릿에서의 간섭 무늬 분석
이중 슬릿에서도 같은 방법으로 3.1.5와 같이 실험을 진행하였는데, 이 때는 중앙의 밝은 무늬에서 첫 번째 밝은 무늬까지의 길이를 측정하여 2.1cm를 얻었다. 이를 식 (6)에 대입하여 두 슬릿 구멍 사이의 간격을 파악한다.
[그림 8] 이중 슬릿에서의 첫번째 밝은무늬 간격
이 때 두 슬릿 사이의 간격 $d=17023nm=17.0\mu m$임을 앞서 유도한 공식에 실험값을 대입하여 알 수 있다.
4. 실험 논의
4.1 삼면 거울의 입사각, 반사각 결정
4.1.1 입사각과 반사각의 관계
실험 결론을 통해 평면 거울에서 입사각과 반사각이 동일함을 확인할 수 있었다. 이는 직관적으로 생활속에서 거울을 접하며 이미 알고 있는 사실이다. 또한 평면거울이 아닌 볼록 거울과 오목 거울에서도 입사각과 반사각이 같음을 알 수 있다. 이는 오목 거울과 볼록 거울에서 레이저가 닿는 접평면에서도 평면 거울에서와 동일하게 반사의 법칙이 성립하기 때문이다. 본 실험을 통해 평면 거울이 아니어도 입사각과 반사각이 동일하다는 사실을 확인하였다. 실제로 난반사가 일어나도 입사각과 반사각이 같다는 법칙은 항상 성립하게 된다.
4.1.2 오차 요인
평면 거울의 경우 입사각이 반사각보다 대부분 작게 도출되었는데, 이러한 현상은 카메라가 극좌표판의 정확히 중심을 찍고 있지 않고 특정 방향으로 기울어져 있기 때문이라고 추론할 수 있다. 또한 입사각과 반사각을 분석할 때 극좌표판의 눈금을 기준으로 각도를 측정하였는데, 오목거울과 볼록거울을 극좌표판에 정렬할 때 극좌표판의 각도가 0인 직선에 대하여 정확히 쉽지 않으므로 평면거울에 비해 오차가 크며 입사각과 반사각이 큰 차이를 보이기도 했다.
4.2 프리즘에 의한 굴절각과 임계각
4.2.1 프리즘의 굴절률과 임계각 결정
입사각과 굴절각을 통해 스넬의 법칙을 이용하여 평균적인 굴절률을 도출하였으며, 다른 방법으로 굴절각이 90도에 근접하는 지점을 찾아 그 근방의 각도를 임계각으로 정하고 임계각에서 스넬의 법칙을 적용하여 굴절률을 총 두 가지 방법으로 구하였다. 평균을 통해 구한 굴절률 1.471과 임계각을 통해 구한 굴절률 1.480 모두 1.45라는 프리즘의 굴절률과 유사함을 알 수 있다. 또한 평균을 통해 구하는 굴절률보다 임계각을 이용해 구하는 굴절률이 더 정확하다는 것을 알 수 있는데, 평균의 경우 각도가 극단적으로 작을 경우 굴절률 값의 편차가 클 수 있으며 이 편차가 평균에 영향을 크게 미쳐 잘못된 굴절률이 나올 수 있으나, 임계각의 경우 굴절각 90도가 되어 굴절 광선이 사라지는 정확한 시점을 찾는다면 매우 적은 편차로 굴절률을 구할 수 있기 때문이다. 또한 반원형 프리즘의 구조상 레이저 빛이 정확히 프리즘의 중심을 통과하지 않는다면 프리즘에서 다시 공기 중으로 레이저가 나갈 때 그 입사각이 0도가 아니기 때문에 이 부분에서 또 한번 굴절이 일어날 가능성이 있다. 이러한 프리즘과 공기의 경계면에서 입사각이 0도가 아닐 경우 굴절이 일어날 뿐만 아니라 레이저 빛이 직진하지 않고 분산되어 여러 각도로 퍼져나가기 때문에 정확한 각도의 측정에도 방해를 받게 된다. 이러한 오차를 보정하기 위해서는 정확한 위치에 레이저를 쏘아 프리즘에서 공기로 빛이 나가는 부분에서 입사각이 정확히 0도가 되도록 할 수 있고, 혹은 프리즘 내부를 진행하는 광선이 육안으로 보이도록 어떤 장치를 달거나 특수한 프리즘을 써 두 번째 굴절에 의한 효과를 배제하고 굴절각을 측정할 수 있다. 결론적으로 본 실험에서 임계각에 의해 측정된 굴절률과 스넬의 법칙을 이용해 구한 굴절률이 같다는 사실을 알아내었고, 이를 통해 스넬의 법칙과 임계각에 대한 식을 실험적으로 확인했다는 결론을 내릴 수 있다.
4.2.2 임계각의 결정방법에 대한 제언
실험 분석 과정에서 Case 6과 7을 비교하여 두 경우의 입사각 사이의 범위에 임계각이 존재할 것이라고 결론 내리고 Case 6과 7의 입사각의 평균을 임계각으로 정하였다. 즉 정확히 굴절각이 90도가 되도록 만드는 입사각을 찾은 것이 아니라 임계각보다 작거나 큰 범위를 제시하였으므로 이는 정확한 임계각이 아니다. 보다 정확히 임계각을 제시하려면, 먼저 Case 6, 7에서 제시된 임계각의 범위를 점점 좁혀가며 0.5~0.1도 간격으로 미세하게 입사각을 조절하여 정확히 굴절광선이 사라지는 시점의 입사각을 임계각으로 설정하면 오차를 줄일 수 있다.
4.3 볼록, 오목 렌즈의 초점거리
4.3.1 렌즈들의 초점거리 결정에 관한 고찰
렌즈로부터 물체의 위치와 물체로부터 상의 위치를 통해 p와 i를 결정하였으며, 이를 렌즈 공식에 대입한 결과 렌즈의 초점거리와 유사한 초점거리 f값을 얻을 수 있었다. 다만 오목 렌즈와 볼록 렌즈에서 매우 큰 오차가 발생한 경우가 있었는데, 이는 렌즈 방정식에 의한 오차 요인 이라기보다는 길이를 측정하는 과정에 오차가 있었다거나, 상의 위치 중 가장 밝고 명확한 상을 결정하는 과정에서 그 위치를 정확히 특정하지 못하였기 때문이라고 판단할 수 있다. 실제로 빛이 진행하는 광로에 스크린을 움직이며 상의 위치를 결정하는 것이므로 모든 빛이 한 곳에 모여 가장 뚜렷한 상을 결정하는 위치가 아니더라도 빛이 모여 어느정도 흐릿한, 어두운 상을 만들어낼 수 있으며 스크린을 상이 발생할 수 있는 모든 범위에 대해 실험해보지 않는다면 상의 위치를 엉뚱한 곳으로 설정할 수도 있다. 이러한 실수를 방지하기 위해서 상이 생길 수 있는 모든 범위에 스크린을 놓아 실험해 보아야한다.
4.4 단일, 이중 슬릿의 회절, 간섭무늬
4.4.1 슬릿 간격과 크기 결정에 대한 고찰
슬릿의 간격과 슬릿 구멍의 직경을 결정하기 위해스크린에 투영된 무늬 사이의 간격을 스크린에 새겨진 자를 통해 파악하고 계산을 통해 그 값을 구할 수 있었다. 그러나 슬릿 간격과 구멍에 대한 참값이 주어지지 않아 실험을 통해 구한 a와 d 값이 실제와 일치하는지는 정확히 알 수 없다. 단일 슬릿의 경우 n=1일 때의 무늬 간격만을 비교하였고 n에 2 이상의 자연수를 대입하였을 때의 무늬 간격을 비교하지 않아 그 값이 정확하지 않다.
5. 실험 결론
본 실험을 통하여 광학의 두 가지 갈래인 기하광학과 파동 광학의 이론적 공식들을 실험적으로 유도하고 증명하였다. 먼저 거울에 종류에 관계 없이 빛이 입사하였을 때 빛이 닿은 면의 법선에 대해 이루는 입사각과 반사각이 항상 같음을 오목, 볼록, 평면 거울을 통해 증명하였다. 또한 프리즘을 통한 입사각과 굴절각의 결정, 전반사의 임계각 결정 실험을 통해 프리즘의 굴절률을 두 가지 방법으로 구하고 임계각의 크기를 표현하였다. 또한 볼록, 오목렌즈의 초점거리를 실제 스크린에 투영된 상의 위치와 크기를 통해 구하고, 배율을 구하였다. 파동광학에서는 단일 슬릿에서 회절현상을, 이중 슬릿에서 간섭현상을 관찰하였으며, 실험을 통해 얻은 데이터를 이용하여 슬릿 자체의 크기와 슬릿 사이의 간격을 구하였다.
6. 참고 문헌
Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014) (Korean ver.)