[물실1] 실험05 - 자이로스코프
1. 서론
1.1 실험 목적
세차 운동이란 회전하고 있는 강체에 돌림힘이 작용할 때 회전하는 물체의 회전축 자체가 회전하는 운동을 의미한다. 이러한 세차 운동은 일상생활에서 지구의 자전, 팽이의 회전 등에서 확인할 수 있으며, 토크를 통해 정량적으로 기술될 수 있다. 또한 자이로스코프의 세차운동을 관찰하면, 각운동량의 수직 성분에 의해 회전축이 수평방향으로 회전하면서 회전축이 위아래로 진동하는 장동운동이 발생한다. 자이로스코프에서 일어나는 세차운동과 장동운동을 각운동량과 토크, 각속도와 같이 회전에 관련된 물리량을 이용하여 정성적으로 분석하고, 기술하는데 이번 실험의 목적이 있다.
1.2 이론적 배경
1.2.1 토크와 각운동량의 관계 [1]
토크(Torque)란, 물체의 회전의 원인이 되는 벡터 물리량으로 직선운동에서의 힘과 대응된다. 토크는 물체에 작용하는 힘 벡터와 회전중심으로부터 힘의 작용점을 각각 시점과 종점으로 하는 위치벡터의 외적과 같으며, 이는 (식 1)과 같이 표현된다.
\[\vec{\tau}=\vec{r}\times \vec{F}, \left|\vec{\tau}\right|=rFsin\phi\tag{1}\]
[그림 1, 2] 토크 벡터의 방향의 이해 i
[그림 1, 2]에서 알 수 있듯이 토크의 방향은 회전축에서 힘의 방향으로 오른손의 네 손가락을 감아 쥐었을 때 엄지손가락이 가리키는 방향이다.
직선운동에서의 선운동량인 p와 대응되는 회전운동의 물리량을 각운동량 $\vec{L}$이라고 하며, 이는 토크에서의 정의와 동일하게 다음과 같은 식에 의해 표현된다.
\[\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=\vec{r}\times m\vec{v}\tag{2}\]또한 직선운동에서 시간에 따른 운동량의 변화가 힘인 것처럼, 회전운동에서 시간에 따른 각운동량의 변화는 (식 3) 과 같이 토크가 된다.
\[\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{r}\times m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{r}\times \vec{F}= \vec{\tau}\tag{3}\](식 3)을 통하여 회전하는 물체에 토크가 작용하지 않는 경우 각운동량은 보존됨을 알 수 있다.
한편, 강체의 어떠한 점질량의 속도벡터는 점질량의 위치벡터와 수직이다. 또한 속도의 크기는 회전축으로부터의 위치벡터의 크기에 각속도를 곱한 것이므로 다음 식을 얻을 수 있다.
\[\vec{v}=\vec{\omega}\times \vec{r}\tag{4}\](식 4)를 이용하여 다시 각운동량에 대해 정리하면,
\[\begin{aligned} \vec{L}=m\left(\vec{r}\times \vec{v}\right)=m\left(\vec{r}\times \left(\vec{\omega}\times \vec{r}\right)\right) \\ =m\left(\vec{\omega}\times \left(\vec{r}\cdot \vec{r}\right)+\vec{r}\times \left(\vec{\omega}\cdot \vec{r}\right)\right)=mr^{2}\vec{\omega}=I\vec{\omega} \end{aligned}\tag{5}\]강체의 임의의 한 점질량에 대해 위의 식이 성립하므로, 전체 강체에 대해 고려하기 위해 점질량을 모두 더해 표현하면, $\vec{L}=I\vec{\omega}$가 성립함을 알 수 있다.
1.2.2 자이로스코프의 세차 운동
[그림 3] 자이로스코프 ii
[그림 3]과 같이 자이로스코프의 회전축 한 끝을 고정점에 얹고, 관성바퀴를 회전시킨채로 가만히 놓으면 회전하는 회전축의 방향이 고정점을 중심으로 원운동하게 된다. 외력에 해당하는 토크를 받아 회전축이 원운동하는 현상을 세차 운동(precession)이라 한다. 이는 자이로스코프에 작용하는 토크가 각운동량의 크기가 아닌 각운동량의 방향을 변화시켜 일어나는 현상이다.
[그림 4] 자이로스코프 세차운동의 Free body diagram iii
미소 시간 dt 이후 각운동량은 $\vec{L_{0}}$에서 $\vec{L_{1}}$으로 변화하였고, 각운동량의 변화량 $\Delta \vec{L}$을 호의 길이로 근사해 회전축의 시간에 따른 각도 변화량, 즉 세차각속도를 알 수 있다.
\[\begin{aligned} Ld\theta=dL, dL=\tau dt=Mgrdt \\ d\theta=\frac{dL}{L}=\frac{Mgrdt}{I\omega}, \\ \Omega=\frac{d\theta}{dt}=\frac{Mgr}{I\omega} \end{aligned}\tag{6}\][그림 4]의 경우에는 회전축이 z축과 수직을 이룰 때의 그림이지만, 회전축과 임의의 각 $\phi$를 이룬다고 하면, (식 6)의 분자와 분모에서 각각 $\sin \phi$가 약분되어 세차각속도 식은 동일함을 알 수 있다.
1.2.3 자이로스코프의 장동 운동
자이로스코프의 장동 운동은, 세차운동이 일어나면서, 회전축과 z축 사이의 각도 $\phi$가 변화하는 운동을 말한다. 세차운동이 관성 바퀴의 회전 운동에 비해 매우 느린 조건에서는 이를 무시할 수 있으나, 그렇지 않을 경우에는 회전 축이 수평 방향으로 회전하면서 동시에 위아래로 움직이는 장동운동을 하게 된다.
[그림 5] 여러 초기 각속도 조건에 대한 장동운동
회전축의 초기 각속도와 세차운동의 방향이 동일할 경우(a), 초기 각속도가 없는 경우(b), 반대 방향인 경우(c) 각각 다른 양상의 장동운동을 관찰할 수 있다.
2. 실험 내용
2.1 실험 장비
자이로스코프, USB 케이블, 다양한 질량의 무게추(100, 200, 300g), 줄과 줄 감개, 2개의 클램프와 자이로스코프 용 지지대, 디스크의 관성모멘트 측정을 위한 추, 측정을 위한 버니어 캘리퍼스와 전자저울
2.2 실험 방법
2.2.1 자이로스코프의 세차 각속도의 측정
자이로스코프 실험장치를 USB 케이블로 컴퓨터와 연결한 뒤 SensorLAB 프로그램을 실행하고, 장치를 연결시킨다. 이후 자이로스코프 원판이 회전할 때 화면의 Received Data에서 Rotation, Tilt, DiskRPM을 확인한다. 장치가 바닥과 수평을 이루도록 확인하고, 균형추를 수평 회전축 끝에 고정하여 회전축이 기울어진 상태로 만든다. 무게 추 100g을 회전축의 두번째 (2nd)거치대 (7cm)에 끼운다. 자이로스코프를 반시계 방향으로 회전시키기 위해 줄의 고리를 관성 바퀴도르래의 핀에 걸어 감은 후 줄을 당겨준다. 장동운동을 막기 위해 축을 손으로 잡아 장동운동하지 않도록 해준다. 이렇게 자이로스코프의 회전을 통해 얻어진 데이터를 시간에 따른 회전각 그래프로 도시하고, 그래프의 추세선 기울기를 통해 세차 각속도를 도출한다. 여러 크기의 토크에 대한 세차각속도를 알아보기 위해 무게 추의 질량, 회전 바퀴로부터의 거리를 바꿔가며 실험한다.
2.2.2 자이로스코프의 장동운동 확인
위의 2.2.1. 실험과 동일한 방법으로 실험을 진행하되, 장동운동을 확인하기 위해 축을 손으로 잡아 장동운동을 막는 과정을 생략한다. 이렇게 측정된 데이터에서 두 단위 시간 사이의 회전축의 회전각, 회전축의 기울기 데이터를 얻는다. 이를 이용하여 Rotation-Tilt 그래프를 그려 장동운동을 그래프로 도시하고 나타낸다. 또한 초기 각속도 조건에 따라 장동운동에 어떠한 변화가 보이는지도 확인한다.
2.3 실험 결과 및 분석
2.3.1 평형을 이용한 디스크 질량의 도출
먼저 디스크의 관성모멘트의 추정을 위하여 힘의 평형과 토크 평형 식을 이용하자.
[그림 6] 디스크 질량 측정을 위한 물리량 표시 iv
자이로스코프의 축은 지표면과 평행하게 평형을 이루고 있으므로 토크의 총합은 0이다. 반시계 방향 토크를 양으로 하고 토크를 나타내면 다음과 같다.
\[\sum \vec{\tau}=r_{1}Mg-r_{2}m_{2}g-r_{3}m_{3}g=0\tag{7}\]디스크와 중심과의 거리 r1, 질량 m2, m3와 거리 r2, r3모두 알고 있으므로 이를 대입하여 M을 구하면, $M≅1282.49g$이다. 디스크의 반지름이 R=13cm이므로, 디스크의 관성모멘트는 원판의 관성모멘트 공식을 통해 구할 수 있다.
\[I=\frac{1}{2}MR^{2}=\frac{1}{2}\times 1.282\times 0.13^{2}=0.01084(kg\cdot m^{2})\tag{8}\]2.3.2 자이로스코프의 세차운동 각속도 확인
총 세가지 상황에 대하여 각각 3번의 실험을 진행하였는데, 101.5g의 추를 디스크로부터 두번째 홈에 추가한 상황, 204.7g을 추를 두번째 홈에 추가한 상황, 101.5g의 추를 세번째 홈에 추가하는 세가지 상황에 대한 실험을 각각 3번 진행하였다. 추세선의 기울기를 유도할 때에는 각속도의 단위인 rad/s을 맞추기 위해 추세선을 통해 구해진 기울기(deg/s)에 $\frac{\pi}{180}$을 곱했다. 이론값의 도출의 경우 디스크의 RPM값인 D-RPM의 전체 평균을 rad/s로 바꾼 뒤 (식 6)에 대입하여 이론적 세차 각속도를 구하였다. 자이로스코프의 세차운동의 시간에 따른 각도 그래프와 구해진 각속도는 아래 [그림 7~9], [표 1~3]과 같다.
[그림 7~9] 조건, 위치에 따른 자이로스코프의 theta-t 그래프
| Trial | 세차각속도 $\omega$ | ||
|---|---|---|---|
| (이론값)[rad/s] | 세차각속도 $\omega’$ | ||
| (실험값)[rad/s] | 오차율 | ||
| (%) | |||
| 1 | 0.7763 | 0.7714 | -0.63 |
| 2 | 0.7928 | 0.7819 | -1.37 |
| 3 | 0.7949 | 0.8033 | 1.06 |
undefined [표 1] 101.5g, 2nd 의 경우 세차각속도 이론/실험값
| Trial | 세차각속도 $\omega$ | ||
|---|---|---|---|
| (이론값)[rad/s] | 세차각속도 $\omega’$ | ||
| (실험값)[rad/s] | 오차율 | ||
| (%) | |||
| 1 | 1.3032 | 1.2648 | -2.94 |
| 2 | 1.4773 | 1.4363 | -2.77 |
| 3 | 1.3757 | 1.3676 | -0.59 |
undefined [표 2] 204.7g, 2nd 의 경우 세차각속도 이론/실험값
| Trial | 세차각속도 $\omega$ | ||
|---|---|---|---|
| (이론값)[rad/s] | 세차각속도 $\omega’$ | ||
| (실험값)[rad/s] | 오차율 | ||
| (%) | |||
| 1 | 0.7529 | 0.7803 | 3.64 |
| 2 | 0.7688 | 0.7811 | 1.60 |
| 3 | 0.7421 | 0.7487 | 0.89 |
undefined [표 3] 101.5g, 3rd 의 경우 세차각속도 이론/실험값
세 가지 케이스의 각 실험 Trial 9번에서 모두 $±$4% 이내의 오차율을 보이며 매우 큰 정확도를 보였다. 다만, 이론적 세차 각속도를 구할 때 사용한 D-RPM 값이 마찰 등의 요인에 의해 점점 감소하였는데, 이를 고려하지 않고 평균값을 사용하여 구했다는 점에서 오차가 발생하였을 것으로 보인다. 자세한 고찰은 이후 결론 및 고찰 부분에서 다루도록 한다.
2.3.3 자이로스코프의 장동운동 분석
장동운동의 경우에는 물리량을 정량적으로 분석하기 어렵기 때문에 그래프의 개형을 통하여 비교하고자 한다. 아래 [그림 10~12]는 각각 자이로스코프를 가만히 놔둔 경우, 세차운동과 같은 방향으로 살짝 밀어준 경우, 반대 방향으로 살짝 밀어준 경우의 Rotation-Tilt, 즉 회전축의 각도에 대한 회전축의 y축으로부터의 기울기 그래프를 나타내고 있다.
[그림 10~12] 조건에 따른 자이로스코프의 rotation-tilt 그래프
그림 10~12의 개형을 통하여 알아낼 수 있는 것은 다음과 같다. 장동운동 그래프의 방향이 우하단을 향하고 있다는 점에서 자이로스코프가 점점 더 중력에 의하여 심하게 기울어지고 있다는 것을 알 수 있으며, 특히 [그림 12]의 세차운동의 방향과 반대방향의 초기 토크를 준 경우에서 두드러지게 알 수 있듯 장동운동의 진폭, 즉 $\theta_{2}-\theta_{1}$ 또한 점차 감소하는 것을 알 수 있다. 이 두가지 현상 모두 자이로스코프 자체의 마찰에 의해 각운동량의 크기 자체가 감소하고, 토크의 방향으로 자이로스코프가 기울어졌음을 의미한다.
[그림 10~12]의 그래프 개형을 비교해 보면, 세차운동과 같은 방향으로 초기 토크가 작용한 경우가 장동운동의 진폭도 작고 주기도 긴 것을 알 수 있다. 반대로 세차운동과 반대 방향으로 초기 토크가 작용한 경우 장동운동의 진폭이 커지고, 주기는 짧아지며, 역행하는 현상 또한 관찰할 수 있었다. 서로 다른 초기 토크 조건에 대한 추가적인 정성적 분석은 아래 고찰과 결론에서 다루기로 한다.
3. 실험 결론 및 논의
3.1 세차운동에서의 오차 요인 분석
3.1.1 D-RPM의 평균값을 사용
D-RPM, 즉 자이로스코프의 회전 각속도를 이론식에 대입할 때 전체 데이터에서의 평균값을 대입하여 구하였다. 이론적으로는 D-RPM의 값이 항상 일정한 값을 유지해야 하나 아래 [그림 13]과 같이 마찰에 의해 RPM이 점차 감소하는 개형으로 나타난다는 사실을 알 수 있다.
[그림 13] 자이로스코프의 RPM-t 그래프
또한 [그림 13]에서 알 수 있듯이 RPM이 불연속적으로 떨어지는 구간이 존재하게 되는데, 이 점을 전후로 시간 간격을 나누었을 때 각 간격마다 기대되는 세차 각속도의 이론 값의 크기가 달라지게 된다. 실험의 편의상 전체 RPM을 평균하여 대입하였지만, 더 정확한 이론값을 얻기 위해서는 RPM이 불연속적으로 변화하는 점을 기준으로 구간을 나누어 구간별 RPM의 평균값을 구하고, 해당 구간별 시간-세차각속도 그래프의 추세선의 기울기를 각각 구하여 비교하는 방법을 택하는 편이 오차를 줄이는 데 도움이 된다. 디스크 RPM의 평균을 자이로스코프 회전각속도로 설정함에 따라 생기는 오차는 실험값에 영향을 미치는 오차가 아닌, 실험값과 비교하기 위해 구하게 되는 이론적인 예측 값의 오차에 기인하는 요인이다.
3.1.2 자이로스코프의 장동운동 미고려
자이로스코프의 세차운동 각속도를 추론할 때는 장동운동을 배제하기 위해 축을 손으로 고정하여 상하운동을 막는 등의 방법을 사용하였다. 그러나 마찰이나 어떠한 요인에 의해 조금이라도 좌우방향의 토크가 생기게 된다면 장동운동은 발생하고, 실제로 자이로스코프의 Tilt 값이 진동하며 점차 감소한다는 사실을 [그림 14]를 통해 알 수 있다.
[그림 14] [표 1]의 trial 1에서의 rotation-tilt 그래프
장동운동이 최대한 배제된 상황에서의 rotation-tilt 그래프에서도 점차 회전축의 각도가 아래로 처지는 현상과 회전축의 각도가 위아래로 진동하는 장동운동 현상을 관찰할 수 있다. 즉 (식 6)에서 Mgr에 해당하는 토크의 성분이 좌우(수평)방향 성분만을 가지고 있는 것이 아니라 비스듬하기 때문에 수직방향 성분도 동시에 가지고 있음을 알 수 있다. 즉 장동운동에 의한 오차를 고려한다면, 잘못된 토크 값이 대입되었고, 이로 인해 잘못된 세차 각속도 예측 값이 도출되었음을 알 수 있다.
3.1.3 세차운동에서 마찰 미고려
디스크와 축의 마찰에 의해 D-RPM이 점차 감소한다는 사실은 [그림 13]을 통해 알 수 있지만, 세차운동에 의한 회전 또한 마찰을 받게 된다. 다시 말하자면, [그림 7~9]의 직선처럼 보이는 그래프 또한 실제로 완전한 직선이 아니라 시간이 지날수록 기울기가 감소하는 형태의 그래프인 것이다. 이는 추세선과 실제 그래프의 비교를 통해 알 수 있는데,
[그림 15] 추세선과 실제 그래프의 비교
[그림 15]를 보면, 실제 시간에 따른 각도(실선)과 추세선(점선)이 교차한다는 것을 알 수 있다. 시간에 따른 각도 그래프도 직선이 아니라 기울기가 점차 감소하는 형태의 그래프임을 [그림 15]를 통해 알 수 있다. 이러한 그래프의 개형을 고려하지 않고, 일차함수 형태의 추세선을 이용하여 기울기를 통해 세차 각속도의 실험값을 구하였기 때문에 오차 발생의 원인이 된다.
3.2 장동운동 그래프의 정성적 설명
[그림 16] 장동운동 그래프 설명을 위한 개략도
[그림 16]에서와 같이 지표면과 수평을 이루고 있는 축에 달려있는 디스크가 반시계방향으로 회전하는 상황에서, 달려있는 추에 의한 토크의 방향은 종이면 안쪽으로 들어가는 방향이다. 이 때 a)빨간색 화살표(세차운동과 같은 방향으로 초기 힘이 작용하는 상황)과 b)초록색 화살표(세차운동과 반대 방향으로 초기 힘이 작용하는 상황)을 비교하면, 세차운동과 같은 방향의 힘이 작용한 경우는 초기 토크가 위로, 반대 방향의 힘이 작용한 경우는 초기 토크가 아래를 향하는 것을 알 수 있다. a)의 경우에는 파란색과 빨간색 토크의 합성벡터 방향이 약간 위쪽으로 치우친 방향이므로, 장동운동에 의한 tilt의 진폭이 크지 않음(즉 tilt가 (-) 방향으로 많이 내려가지 않음)음을 직관적으로 알 수 있으며, 반대로 b)의 경우는 파란색과 초록색 토크의 합성한 방향이 아래로 치우쳐 있기에 장동운동에 의한 tilt의 진폭이 크고, (-) 방향, 즉 지면 방향 쪽으로 축이 많이 처져있는 것을 알 수 있다. 또한 b)에서 역행이 일어나는 이유 또한 초기 힘의 방향이 세차운동과 반대 방향을 향하고 있기에 역행이 일어날 수 있다는 사실을 직관적으로 도출해낼 수 있다.
4. 결론
본 실험에서는 자이로스코프의 세차운동과 장동운동에 대하여 토크와 각운동량의 관점에서 알아보고, 이를 그래프를 통하여 정성, 정량적 방법으로 설명하였다. 먼저, 장동운동을 배제한 세차운동에서는 무게추의 질량과 회전판으로부터의 위치를 변화시켜가며, 여러가지 상황에 대한 세차 각속도를 구하고 이를 이론값과 비교하였다. 2nd 라는 같은 위치에 질량(101.5g, 204.7)이 다른 추를 올려놓았을 때는 세차 각속도가 각각 0.7714, 1.4363으로 물체의 질량에 비례한 각속도를 얻을 수 있었다. 각각의 실험결과는 오차율 $±$4% 이내로 이론적인 배경을 충분한 신뢰수준에서 뒷받침해준다는 것을 알 수 있다. 같은 질량의 추를 각각 다른 위치(축으로부터 17, 19cm)에 올려놓았을 때는 세차 각속도가 각각 0.7714, 0.7811로 축으로부터의 거리에도 세차각속도가 비례한다는 사실을 알아내었다. 이를 통하여 세차 각속도는 축에 작용하는 토크(Mgr)에 비례하는 물리량이라는 사실을 실험적으로도 추론할 수 있다. 다음으로 장동운동의 Rotation-Tilt 그래프를 그려보고, 초기 토크의 크기와 방향에 따라 정성적인 비교를 해보았다. 초기 힘의 방향이 세차운동의 방향과 동일할 때에는 장동운동의 주기가 길고, 진폭이 작았으며, 초기 힘의 방향이 세차운동의 방향과 반대일 때는 장동운동의 주기가 짧아지고 진폭이 커지며, 역행한다는 사실을 알아내었다. 이러한 장동운동의 그래프의 특성을 3.2의 장동운동 특성 설명을 통해 토크와 힘의 방향으로 풀이하여 정성적으로 설명하였다.
세차운동의 경우 D-RPM값이 지속적으로, 그리고 불연속적으로 감소하였음에도 평균값을 계산에 사용한 점에서 오차가 누적되었으며, 장동운동을 최대한 배제하였음에도 발생하는 장동운동, 세차운동에 의한 마찰력의 작용 등이 이론값과 실험값에 대한 오차 요인으로 작용하였다. 이러한 오차들을 개선하기 위해 전체 구간이 아닌, 짧은 단위시간으로 나누어 그 때의 D-RPM 값과, 기울기를 구하여 같은 방법으로 적용시킨다면 대부분 해결될 것이며, 장동운동을 막기 위해서는 자이로스코프 장치의 개선을 통해 위아래로 진동하는 것을 막는다면 해결될 것으로 보인다.
5. 참고 문헌
[1] 증명 - Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014) (Korean ver.) p.348
i 사진 출처 : Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014), (Korean ver.) p.348
ii 사진 출처 : 「자이로스코프」,『Wikipedia』, 21.03.29, https://ko.wikipedia.org/wiki/자이로스코프, (접속일 21. 04.10)
iii 사진 출처 : 「질량중심이 회전할 때의 돌림힘 및 각운동량」,『Physics land blog』, 16. 8. 15. 작성, https: //m.blog.naver.com/id8436/220787722453 (접속일 21. 04.10)
iv 사진 출처 : 「자이로스코프」,『Physics Laboratory』, 서울대학교 물리천문학부 물리학실험 1 매뉴얼