1. 서론

1.1 실험 목적

본 실험을 통해 용수철과 단진자에서의 단진동을 정량적으로 분석하고, 이 때 가해지는 복원력에 의한 작용을 분석한다. 또한 용수철에 매달린 진자의 운동은 복원력이 2차원 평면에서 복합적으로 결합한 운동이 나타나므로, 이를 분석하고 시간에 대한 x, y축의 그래프인 리사쥬 도형을 그려 분석한다. 마지막으로 변위가 충분히 커지면 복원력이 더 이상 변화량에 비례하지 않는 비선형 효과가 나타나는데, 이에 대해서도 고찰한다.

1.2 이론적 배경

1.2.1 단진자 운동 [1]

단진자 운동이란, 질량과 탄성을 무시할 수 있는 일정한 길이의 실에 매달린 점질량에 작은 변위(각도)가 가해졌을 때 일어나는 운동을 의미한다.

[그림 1] 단진자의 개략도 2

이 때의 토크의 식은 다음과 같다.

\[\sum \vec{\tau}=I\alpha,-mlgsin\theta=ml^{2}\bar{\theta}\tag{1}\]

각 $\theta$가 매우 작을 때 $\sin \theta≈\theta$라는 근사가 성립하므로, 근사를 통해 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

\[\begin{aligned} \theta\left(t\right)=\theta_{0}\sin \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t+∅\right), lsin\theta≈l\theta, \\ x\left(t\right)=x_{0}\sin \left(\sqrt{\frac{g}{l}}t+∅\right), T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \end{aligned}\tag{2}\]

(식 2)를 통해서 단진자의 각속도와 주기는 질량 m과는 무관하고, 중력가속도가 일정할 때 줄 길이의 제곱근에 비례한다는 것을 알 수 있다.

1.2.2 물리진자 [1]

1.2.1.의 단진자는 질점에 모든 질량이 모여있는 점질량 가정하에 식을 전개하였지만 실제 물체는 그렇지 않다. 물체의 질량의 분포, 즉 관성 모멘트를 고려한 진자를 물리 진자(physical pendulum)이라고 부르며, 주기는 1.2.1.에서 구한 것과 유사한 방법으로 구할 수 있으며, 이는 다음과 같다.

\[T=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgh}}\tag{3}\]

$I$는 회전축에 대한 물체의 관성모멘트이며, $h$는 회전축에서 질량중심까지의 거리이다.

1.2.3 용수철 진자 [1]

질량을 무시할 수 있는 용수철에 질량 m인 물체가 매달려 수직방향 진동을 할 때 용수철 상수를 k, 평형점으로부터 물체의 변위를 x라 한다면 힘에 대한 미분방정식을 푼 해 x(t)는 다음과 같다.

\[\begin{aligned} mg-kx=m\bar{x}, \\ x\left(t\right)=x_{m}\cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}}t+∅\right)+\frac{mg}{k} \end{aligned}\tag{4}\]

이 때의 주기 또한 $\cos \left(\omega t+∅\right)$에서 각속도 $\omega$에 해당하는 부분을 $\omega=\frac{2\pi}{T}$ 라는 식을 적용하여 구할 수 있으며, 이는 $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$이다.

용수철의 질량을 무시할 수 없고, 그 용수철의 질량을 M이라고 한다면, 특정 위치에서의 용수철이 늘어난 길이와 용수철 상수의 곱은 용수철 아래에 매달린 물체의 무게와 해당 위치 아래 용수철의 무게를 더한 것과 같으므로, 이 원리를 적용하여 특정 위치 y에서의 용수철상수가 (식 5)와 같이 표현되며, 이를 적분한 평균 용수철 상수도 구할 수 있다.

\[k\left(y\right)= \frac{km}{m+\frac{\left(m+M\left(L-y\right)\right)}{L}} k_{avg}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L} k\left(y\right)dy=\frac{km}{M}ln⁡(1+\frac{M}{m})\tag{5}\]

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ 식의 k에 (식 5)에서 구한 k의 평균값을 대입하면, 주기를 구할 수 있으며, M«m인 경우 근사를 통해 다음 식을 얻을 수 있다.

\[T≈2\pi\sqrt{\frac{(m+\frac{M}{2})}{k}}\tag{6}\]

또한 용수철 진자에서의 운동에서도 역학적 에너지 보존법칙을 적용할 수 있는데, 단순 조화운동에서 포텐셜 에너지와 운동에너지의 합은 보존된다.

\[U=\frac{1}{2}kx^{2}, K=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m\bar{x}^{2}, E=U+K\tag{7}\]

1.2.4 리사쥬 도형(Lissajous figures)

x축과 y축 방향으로 각각 (식 2)와 같은 단조화 운동이 동시에 일어난다면, 시간 t를 매개변수로 하는 x, y 좌표 평면에 그래프를 그릴 수 있고 이를 리사쥬 도형이라 한다.

\[\begin{aligned} x\left(t\right)=x_{0}\sin \left(\omega_{x}t+∅_{x}\right) \\ y\left(t\right)=y_{0}\sin \left(\omega_{y}t+∅_{y}\right) \end{aligned}\tag{8}\]

[그림 2] 위 상차, 주파수 비에 따른 리사쥬 도형의 개형 3

[그림 2]에서는 x축과 y축의 진폭이 같은 경우 서로 다른 위상 차 $∅_{x}-∅_{y}$, 주파수 비율 $f_{x}:f_{y}$에서의 리사쥬 도형을 나타낸 것이다. 진폭이 서로 다른 경우라면, 위 리사쥬 도형의 개형에서 x, y방향으로 진폭만큼 확대한 도형을 얻을 수 있을 것이다. 리사쥬 도형을 통해 x축과 y축의 위 상차, 주파수의 비, 진폭의 비 등 다양한 정보를 얻을 수 있다.

2. 실험 내용

2.1 실험 장비

용수철, 용수철용 스탠드, Tracker 분석을 위한 컴퓨터, 촬영용 카메라, 테프론 봉이 달린 추 받침, 실타래, 추 셋트, 자와 각도기

2.2 실험 방법

2.2.1 용수철의 용수철 상수 측정

용수철 자체의 용수철 상수를 측정하기 위해 먼저 용수철용 스탠드에 용수철을 매달고 아무 것도 매달지 않은 상태에서의 용수철의 길이를 측정한다. 그 다음 훅의 법칙에 의한 kx=mg 식을 이용하여 여러 질량의 추를 매달았을 때 용수철 길이의 변화 량을 식에 대입해 용수철 상수를 구한다.

2.2.2 용수철의 상하 진동 운동의 분석

용수철과 연결된 추 받침을 추에 얹고, 연직 아래방향으로 살짝 당겨 연직 방향 진동을 발생시킨다. 이 운동을 촬영하여 Tracker 프로그램을 이용하여 분석한다. 이후 시간에 따른 변위의 그래프를 (식 4)의 sin 함수와 fitting 하여 주기의 실험값을 도출하고, 2.2.1.에서 유도된 용수철 상수와 추의 질량 m에 의해 유도되는 이론적 주기 값과 비교한다. 이를 서로 다른 질량(49.5g, 99.9g) 추를 이용하여 각 3회씩 분석한다. 단, 모든 경우에 추를 얹기 위한 추 받침대(71.5g)을 사용하므로, 질량 m에 대입 시 이를 추의 무게와 추 받침대의 무게를 더하여 분석한다.

2.2.3 용수철 흔들이의 리사쥬 도형 분석

2.2.2의 실험과 동일하게 진행하되, y축 변위만이 아닌 x축과 y축 변위를 동시에 주어 분석한다. 시간에 따른 x, y축 운동에 대한 그래프를 그려 리사쥬 도형을 총 3개 완성하고, 도형을 통해 알 수 있는 물리량들의 비 (진폭의 비, 각진동수의 비)와 위상차를 구한다.

2.2.4 추의 진자 운동 분석

이론적으로 추의 질량은 진자 운동에 영향을 미치지 않고, 실의 길이는 주기에 영향을 미치는데, 이를 실험적으로 보이고자 실의 길이를 35.5cm, 49cm, 59cm로 바꿔가며 진자 운동 주기의 실험값을 계산한다. 이론적으로 유도되는 값과의 비교를 통해 오차 요인을 분석한다.

3. 실험 결과 및 분석

3.1.1 용수철의 용수철 상수 측정

용수철 상수의 결정을 위해 훅의 법칙을 이용하여 세가지 경우의 (늘어난 길이, 질량)을 그래프에 도시하고 기울기를 이용하여 용수철 상수를 측정하였다.

Trial	받침대 평형길이[cm]	용수철 늘어난 길이 [cm]	추세선의 기울기를 통한 k값[N/m]
추 0g	49.5	-	3.6253
추 49.5g	62.3	12.8	3.6253
추 99.9g	76.2	26.7	3.6253
추 149.4g	89.3	39.8	3.6253

undefined [표 1] 추의 질량 별 용수철 늘어난 길이

[그림 3] 추세선에 피팅하여 용수철 상수 결정하는 그래프

[표 1]과 [그림 3]에 따라 일차 식에 fitting하여 그 기울기를 용수철 상수로 보고 k=3.6253[N/m]라는 사실을 알아내었다. 단순히 각각의 식에 kx=mg라는 식을 대입한 후 평균을 구하기보다, 이런 식으로 비율을 좌표 평면 위에 표시한 뒤 일차 항의 계수를 용수철 상수로 보는 것이 오차를 줄이는데 기여할 수 있다. 왜냐하면 초기 길이 혹은 물체에 공통으로 작용하는 질량에 의한 오차를 줄일 수 있기 때문이다.

3.1.2 용수철의 상하 진동 운동 분석

용수철의 연직 방향 진동 운동 분석에는 두가지종류의 추 (49.5g, 99.9g) +(71.5g)을 사용하여 각 종류의 추당 3회 반복 실험하였다. 이를 통해 얻어낸 주기 데이터는 아래 [표 2]와 같다.

| Trial | 추 49.5g+받침대 71.5g 주기 T [sec] | 추 49.5g+받침대 71.5g 참값 t [sec] | 추 49.5g+받침대 71.5g 오차율 (%) | 추 99.9g+받침대 71.5g 주기 T [sec] | 추 99.9g+받침대 71.5g 참값 t [sec] | 추 99.9g+받침대 71.5g 오차율 (%) | | —– | —————————- | —————————- | ————————- | —————————- | —————————- | ————————- | | 1 | 1.1678 | 1.1479 | 1.73 | 1.4014 | 1.3662 | 2.58 | | 2 | 1.1678 | 1.1479 | 1.73 | 1.3680 | 1.3662 | 0.13 | | 3 | 1.1678 | 1.1479 | 1.73 | 1.4014 | 1.3662 | 2.58 |

undefined [표 2] 추의 질량 별 측정된 주기 T와 참값 t와의 비교

주기 T의 경우 추의 질량이 같다면 참값과 근사적으로 일치하였다(부록 7.1.1). 또한 이 운동이 단조화 운동을 만족하는지를 확인하기 위해 진동 초기와 나중의 진동 중심의 위치, 진폭이 변화하였는지 또한 확인하였다(부록 7.1.2). [표 2]에서 알 수 있듯이 모든 경우에 양의 오차율을 보였으므로, 특정 요인이 작용하였다는 사실을 알 수 있고, 이는 오차 요인 부분에서 분석하고자 한다.

3.1.3 용수철 흔들이의 리사쥬 도형 분석

용수철에 매단 추의 질량에 따라 달라지는 연직, 수평방향 운동을 리사쥬 도형으로 나타낸 그래프는 [그림 4~ 6]와 같다.

[그림 4~6] 추 49.5g+71.5g 의 리사쥬 도형 (trial 1~3)

가장 명확히 도형이 그려진 [그림 4, 5]를 통해 y축 방향으로 한 주기 이동할 동안 x축으로는 대략 5/6주기 이동한 것을 알 수 있으며 이를 통해 x축과 y축의 주기의 비가 대략 5:6인 것을 알 수 있다. 또한 [그림 4~6]의 모든 x축과 y축 눈금이 동일하므로, 리사쥬 도형 전체의 가로와 세로의 비율을 통해 x축과 y축의 진폭의 비를 알 수 있다(대략 2:3, 4:3, 4:3). 각 trial마다 초기 변위가 달랐기 때문에 진폭의 크기와 그 비율 또한 각기 다르다는 사실을 알 수 있다.

3.1.4 추의 진자 운동 분석

이번에는 탄성이 없는 실에 추를 매달았을 때의 진자 운동을 분석하였다. 99.9g의 추와 추 받침대 71.5g을 사용하여 3회 반복 실험하였다. 이를 통해 얻어낸 주기 데이터는 아래 [표 3]와 같다. 참값은 (식 2)에 실 길이를 대입한 것을 사용하였다.

| Trial | 추 99.9g + 받침대 71.5g 주기 T [sec] | 추 99.9g + 받침대 71.5g 참값 t [sec] | 추 99.9g + 받침대 71.5g 오차율 (%) | | ——– | —————————— | —————————— | ————————— | | 실 59cm | 1.7351 | 1.54115 | +12.59 | | 실 49cm | 1.4681 | 1.40449 | +4.53 | | 실 35.5cm | 1.3680 | 1.19545 | +14.44 |

undefined [표 3] 추의 질량 별 단진자의 주기와 참값과의 비교

[표 3]에서 볼 수 있듯 실의 길이 별 주기의 참값보다 더 큰 실험값을 확인하였다. 또한 이론적 분석 에서와 동일하게 추의 길이의 제곱근에 주기가 근사적으로 비례한다는 사실을 본 실험 결과를 통해 알 수 있다. 양의 오차율을 통해 주기가 커지는 방향으로 치우치게 하는 어떠한 요인이 있다는 전제를 하고, 오차 요인 부분에서 분석하고자 한다.

4. 실험 결론 및 논의

4.1 용수철의 상하운동 진동의 오차

4.1.1 용수철의 질량 미고려

용수철의 질량은 추의 질량에 비해 상대적으로 작지만 (식 5)과 같이 특정 길이에서의 용수철 상수를 적분하여 이를 주기 식에 대입하게 되면 (식 6)과 같이 추의 질량에 더해지는 효과로 작용하게 된다. 그러나 용수철의 질량이 주어지지 않았기에 고려하지 않으면서, 이에 따라 [표 2]와 같이 양의 오차를 발생시키는 요인으로 작용하게 되었다. 용수철의 질량 미고려로 인한 오차를 개선하기 위해서는 용수철의 질량을 계산하여 이에 대한 보정을 해주면 된다. (식 6)은 근사를 통해 얻은 용수철의 질량을 고려한 보정 식으로, 보다 정확한 주기 값의 보정을 위해 진동 주기의 근사 과정을 정확히 계산해주게 되면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

\[T≈2\pi\sqrt{\frac{(m+\frac{M}{3})}{k}}\tag{9}\]

4.1.2 x축 운동, 회전 운동에 의한 오차

[그림 ? ~ ?] 에서 알 수 있듯이 연직 방향으로 진동하는 용수철의 x방향 진동 성분이 존재한다는 사실을 알 수 있고, x축 진동의 주기 또한 y축 진동의 주기보다 더 길다는 사실을 알 수 있다. 이 사실로부터 (1) 카메라의 연직 축 방향이 실제 중력의 방향과 동일하지 않았으며, (2) 초기 변위의 x축 성분이 소거되지 않아 x축으로 운동하였고, (3) x축 뿐만 아니라 카메라의 앞과 뒤 방향(z축) 운동 혹은 회전이나 비틀림의 성분도 존재하였음을 알 수 있다. 단순히 y축으로의 진동이 아닌 3.2.3의 실험과 유사하게, x축 초기 변위에 의해 물체는 x축과 y축으로 각각 진동 운동을 하였을 것이다. 각 축 별 진동 운동은 독립적이지 않고 서로 영향을 끼치면서 y축 진동의 주기에 영향을 미쳤을 가능성을 배제할 수 없다.

4.2 단진동 실험에서의 오차

4.2.1 진자의 관성 모멘트에 의한 오차

실제 진자의 주기는 (식 3)과 같이, 물리진자이기때문에 물체의 관성모멘트, 즉 질량의 분포를 고려하여 참값을 결정해주어야 한다. 그러나 추와 추의 받침대의 모양이 기하학적으로 계산하기 쉬운 형상이 아니며, 추의 반지름, 길이 등이 주어지지 않아 실질적으로 관성 모멘트를 계산하는데 어려움이 있었다. 만약 관성 모멘트를 고려한다 하여도, 추와 추 받침의 질량중심을 찾아 회전 중심에 대한 관성모멘트를 구하는 과정에 상당한 애로사항이 있을 것으로 예상된다.

4.2.2 추 받침대의 길이를 실의 길이에 추가시키지 않은 오차

실제 단진자에서의 주기 공식에는 물체의 질량중심으로부터 고정 점까지 실의 길이를 l이라 하고 주기 식에 대입하게 된다. 그러나 이번 실험에서는 추 받침대 길이에 의한 추가 길이를 고려하지 않았다.

[그림 7] 추 받침대의 길이 미고려

전체 축의 길이를 놓고 보았을 때 [그림 7]에서의 x의 크기는 약 13cm가 되는데, 이를 고려한 수정된 참값과 실험값을 비교한 표는 [표 4]와 같다.

| Trial | 추 99.9g 주기 T [sec] | 추 99.9g 보정 값 t’ [sec] | 추 99.9g 오차율 (%) | | ——– | —————— | ——————— | ————— | | 실 59cm | 1.7351 | 1.70249 | +1.92 | | 실 49cm | 1.4681 | 1.5798 | -7.07 | | 실 35.5cm | 1.3680 | 1.3973 | -2.9 |

undefined [표 4] 추 받침대의 길이를 고려한 보정된 표

[표 4]의 오차율 (+1.92, -7.07, -2.09) % 는 추 받침대의 길이를 고려하지 않았을 때인 [표 3]에서의 오차율 (+12.59, +4.53, +14.44) %에 비해 작아졌다는 사실을 알 수 있다. 그러나 이렇게 고려한 값 또한 정확한 값은 아니다. 실과 추 받침대가 연결된 부분이 또다른 각 $\phi$를 이루게 되면서 이중 진자가 되기 때문이다.

[그림 8] 이중 진자의 개념도4

실과 추 받침대의 끝부분이 연결된 부분이 [그림 8]의 m1 부분과 같이 관절처럼 작용하여 연직선상에서 또다른 각을 만들기 때문에 일반적인 뉴턴 역학에 의한 풀이 방법으로는 많은 변수의 개수와 복잡한 수식으로 인해 계산하기가 힘들다. 이를 계산하기 위해서는 라그랑주(Lagrange) 역학, 즉 역학적 에너지를 이용한 수식을 통하여 분석해야만 한다. 5

\[L=T-V\tag{10}\]

(식 10)에서의 L(라그랑지안, Lagrangian)은 T(운동 에너지) – V(퍼텐셜 에너지)로 정의된다. 이 때의 Action 즉 운동은 시간에 대한 라그랑지안의 적분값으로 정의되며, 실제 운동이 L의 적분값인 S(q)가 최대나 최소로 만드는 경로로 일어난다는 것을 이용하여 라그랑주 방정식을 만들어 계산할 수 있다.

추가적으로 tracker를 이용하여 분석할 때 [그림 7]의 CM 부분이 아닌 추 받침대 아래쪽 빨간색 부분을 tracking 하여 주기를 계산하였다. 점질량이 아닌 추 받침대가 연직선에 대해 또다른 각을 가질 수 있기 때문에 CM의 최대 변위와 빨간색 부분의 최대 변위가 일치하지 않을 수도 있다.

4.2.3 각도 $\theta=\sin \theta$ 근사과정에서의 오차

(식 2) 에서 미분방정식을 편하게 풀기 위하여 작은 각에 대해$\theta=\sin \theta$라는 근사를 사용하였다. 그러나 근사 없이 미분방정식을 풀게 되면 주기에 대한 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

\[\bar{\theta}=-\frac{g}{l}\sin \theta, \frac{T}{4}=\int_{0}^{\theta_{0}} \frac{1}{\bar{\theta}}d\theta\tag{11}\]

(식 11)을 변수분리하여 적절히 정리하면, 주기 T에 대한 적분 식을 얻을 수 있다.

\[T=4\sqrt{\frac{l}{2g}}\int_{0}^{\theta_{0}} \frac{1}{\sqrt{\cos \theta-\cos \theta_{0}}}d\theta\tag{12}\]

(식 12)를 sin의 반각공식으로 정리한 후 적절한 치환을 통해 정리하면, 주기에 대한 우변의 적분식이 제 1종 완전 타원 적분(Complete elliptic integral of the first kind)라는 사실을 알 수 있으며, 이에 대한 적분 값은 다음 (식 13)와 같다고 알려져 있다. 6

\[T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\sum_{n=0}^{∞} \left[\frac{\left(2n-1\right)‼}{\left(2n\right)‼}\right]^{2}sin^{2n}(\frac{\theta_{0}}{2})\tag{13}\]

실험 3.2.4. 의 연직선과 실이 이루는 최대 각 $\theta_{0}$은 실의 길이 49cm일 때 3.9$°$, 35.5cm일 때 7.9$°$이다. 3.9$°$일 때와 7.9$°$일 때 (식 2)와 (식 13)의 오차율은 약 0.05%, 0.2% 정도로 크게 고려할 만한 수치는 아니나, [표 3]에서 양의 오차율을 설명하는 데 하나의 요인이 될 수 있다.

5. 결론

본 실험에서는 연직 방향으로 진동하는 용수철의 운동과 단진자 운동, 용수철 흔들이의 리사쥬 도형을 직접 그려보고 정성, 정량적 방법으로 이론값과 비교하며 분석하였다.

먼저 용수철과 추 받침에 의한 중력과 훅의 법칙에 의한 용수철 상수와 변위의 곱이 같다는 사실을 이용하여 용수철 상수 k=3.6253[N/m]를 얻어낼 수 있었다. 이 용수철 상수를 이용하여 두번째 실험인 용수철의 상하 운동에 의한 진동 주기를 이론적으로 구하고, 실험값과 비교하였다. 추 받침대 71.5g과 추 49.5g을 더한 경우는 주기 1.1678sec을 얻어 이론값과 단 1.73%의 오차율을 보였으며, (71.5+99.9g)의 경우는 1.3902sec로 약 1.76%의 오차율을 보였다. 용수철의 질량을 제대로 고려하지 못하였으며, x축 운동에 의한 오차 요인과 추 자체의 비틀림에 의한 회전 운동 등을 고려하지 않은 것이 양의 방향으로 주기를 치우치게 만든 오차 요인으로 보인다.

두 번째 실험인 용수철 흔들이의 실험에서는 용수철의 연직 방향 운동과 수평방향 운동이 동시에 고려된 복잡한 운동을 확인할 수 있었으며, 이를 직관적으로 확인하기 위해 [그림 4~6]과 같은 리사쥬 도형을 그려 확인하였다. 각 실험 별 trial에 따라 각기 다른 진폭의 비를 보였으나, 주기의 비율은 x축:y축이 대략 5:6이라는 사실을 알 수 있었다. 초기 변위를 분석하면 위상차 또한 확인할 수 있을 것이다.

마지막 실험인 단진동 운동의 분석에서는 실의 길이 59cm, 49cm, 35.5cm에서 각각 1.7351sec, 1.4681sec, 1.3680sec으로 실의 길이의 제곱근에 주기가 비례한다는 사실을 실험을 통해 알 수 있었다. 오차 요인으로는 실과 추 받침대가 이루는 각에 의한 이중 진자, 부정확한 근사로 인한 오차, 물체의 관성모멘트를 고려하지 않아 생기는 오차, 물체의 질량중심까지의 부정확한 거리 계산 등의 오차를 지목하였으며, 각각의 오차들이 실험값을 한쪽 방향으로 치우치게 만드는 편향성을 지닌다는 사실 또한 설명하였다.

6. 참고 문헌

[1] 증명 - Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014) (Korean ver.) p.348

2 사진 출처 : 「진자」,『Wikipedia』, 21.02.19, https://ko.wikipedia.org/wiki/진자, (접속일 21.05.03.)

3 사진 출처 : 「리사주 도형」,『Allthatmath』, 21.02.19, http://www.allthatmath.com/, (접속일 21.05.03.)

4 사진 출처 : 「라그랑주 역학」, 11.10.04, http://blog.naver.com/leprechaun77/50122644119, (접속일 21.05.10.)

5 라그랑지안 : 『WolframResearch』 21.01.26, https://scienceworld.wolfram.com/physics/LagrangesEquations.html, (접속일 21.05.10.)

6 타원 적분 : 「Complete elliptic integral of the first kind」,『exstrom.com』 https://exstrom.com/math/elliptic/ellipint.html, (접속일 21.05.10.)

7. 부록

7.1 용수철 진동 운동의 그래프

7.1.1 49.5+71.5g 추를 매달았을 때 그래프

용수철의 진동 운동을 시간에 따른 변위 그래프(x, y)축을 나타낸 것이다. 먼저 49.5+71.5g의 추를 매달았을 때의 그래프이다.

[그림 9~11] 49.5g상황의 x, y축 시간에 따른 변위 그래프

위 그래프를 보면 x축으로도 변위가 바뀌면서 진동운동하고 있지만, 그 주기가 y축 진동의 주기와는 확연히 다른 것을 알 수 있다. 즉 이번 실험에서 주로 다루고자 하는 용수철의 상하 운동의 주기와는 큰 차이가 있으므로, y축 방향의 데이터만을 이용하여 주기의 실험값을 구하였다.

7.1.2 49.5+71.5g 추의 단조화 여부 확인

	Trial 1	Trial 2	Trial 3
진동 중심
(초기,나중)	-0.2399
-0.2386	-0.2398
-0.2382	-0.2400
-0.2383
진폭
(초기,나중)	0.06961
0.06524	0.03789
0.03500	0.04871
0.04596
변화량
(중심,진폭)	-0.0013
-0.00437 (-6.28%)	-0.0016
-0.00289(-7.62%)	-0.0017
-0.00275(-5.64%)

undefined [표 5]49.5g 상황의 초기, 나중 진동중심과 진폭 (unit : [m])

초기의 y축 진동중심과 y축 진폭, 진동 시작 후 15초 후의 y축 진동중심과 y축 진폭을 비교해보면 진동 중심의 경우 거의 변하지 않은 것을 확인할 수 있으며, 진폭은 공기와 용수철에 의한 마찰 등의 이유로 5~7%정도 감소했다는 사실을 알 수 있다. 그러나 이를 단조화 진동으로 간주하기에 충분히 오차가 작으므로, 이후의 분석에서는 해당 실험의 결과를 단조화 운동으로 간주하고 분석하기로 한다.

7.1.3 99.9+71.5g 추를 매달았을 때 그래프

용수철의 진동 운동을 시간에 따른 변위 그래프(x, y)축을 나타낸 것이다. 49.5+71.5g와 동일한 과정을 거쳐 99.9+71.5g의 추를 매달았을 때의 그래프를 나타냈다.

[그림 12~14] 99.9g상황의 x, y축 시간에 따른 변위 그래프

49.5+71.5g 추의 경우와 동일하게 x축 진동 운동은 그 주기가 확실하지 않고, y축의 주기와 큰 차이를 보였음으로, 분석 시 y축의 주기와 진폭을 활용하였다.

7.1.4 99.9+71.5g 추의 단조화 여부 확인

	Trial 1	Trial 2	Trial 3
진동 중심
(초기,나중)	-0.2405
-0.2410	-0.2400
-0.2383	-0.2412
-0.2412
진폭
(초기,나중)	0.04492
0.04363	0.05817
0.05564	0.05188
0.04871
변화량
(중심,진폭)	+0.0005
-0.0129 (-2.87%)	-0.0017
-0.00253(-4.35%)	0
-0.00317(-6.11%)

undefined [표 6]99.9g 상황의 초기, 나중 진동중심과 진폭 (unit : [m])

6.2.1의 경우와 동일하게 진폭과 진동 중심의 변화 량은 매우 미미하므로, 이 때 역시 단조화 운동으로 가정하고 접근해도 무방하다고 판단된다.

7.2 단진자 운동의 그래프

단진자의 진동 운동을 시간에 따른 변위 그래프(x,y)는 아래 그림과 같다.

[그림 15~17] 99.9g상황의 x, y축 시간에 따른 변위 그래프