[물실1] 실험07 - 파동의 발생과 전달
1. 서론
1.1 실험 목적
본 실험은 수면파 발생 장치를 이용하여 서로 다른 위치에서 발생한 수면파의 간섭을 정량적으로 조사하는 것에 목적이 있다. 상쇄간섭과 보강간섭 조건에 대한 이론적인 식에 실제 경로차와 파동의 속도 공식을 이용하여 수면파의 속도의 실험값을 도출하고, 이를 주파수를 통해 알 수 있는 수면파의 속도의 이론값과 비교한다. 또한 수면파의 진행방향에 장애물을 배치하고, 파동의 진행양상을 관찰한다. 이를 통해 파동의 회절, 간섭에 관한 성질을 정성적, 정량적 방법으로 각각 탐구한다.
1.2 이론적 배경
1.2.1 파동의 수학적 기술 [1]
파동 방정식은 뉴턴의 제 2법칙인 F=ma를, 매질의 미소 질량에 대한 힘에 대해 표현하여 나타낼 수 있다. 이는 다음 (식 1)과 같은 y의 x, t에 대한 이차 편미분방정식의 꼴로 나타내어지게 된다.
\[\frac{∂^{2}y}{∂x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{∂^{2}y}{∂t^{2}}\tag{1}\]위 미분방정식의 한 해는 y에 대한 이변수 함수로, 삼각함수의 꼴로 표현할 수 있다.
\[y\left(x,t\right)=y_{m}sin(kx-\omega t)\tag{2}\](식 1)에서의 $v$는 파동의 속력으로, 매질이 다시 원래 변위 y로 돌아오는(1회 진동을 하는) 동안 x축으로 이동한 시간당 거리를 의미한다. 정의를 이용하여 파동의 속도를 나타내면 $v=f\lambda$이며, 이를 (식 2)의 물리량으로 표현한 식은 (식 3)과 같다.
\[v=\frac{\omega}{k} 단, \omega=2\pi f, k=\frac{2\pi}{\lambda}\tag{3}\]1.2.2 파동의 중첩
각각의 파동이 혼자 진행할 때의 줄의 변위가 각각 $y_{1}\left(x,t\right), y_{2}\left(x,t\right)$라고 한다면, 파동이 동시에 진행할 때의 줄의 변위는 두 함수의 대수적인 합으로 표현된다.
\[y^{'}\left(x,t\right)=y_{1}\left(x,t\right)+y_{2}\left(x,t\right)\tag{4}\]이 때 진폭과 파수, 각진동수가 동일하고 위상차가 $\phi$인 $y_{1}\left(x,t\right), y_{2}\left(x,t\right)$에 대해 두 파동의 합성파 $y^{‘}\left(x,t\right)$는, 삼각함수의 합성 공식을 이용하여 다음과 같이 정리가능하다.
\[y^{'}\left(x,t\right)=2y_{m}\cos \left(\frac{\phi}{2}\right)sin(kx-\omega t+\frac{\phi}{2})\tag{5}\](식 5)에서 t에 대한 함수인 $sin(kx-\omega t+\frac{\phi}{2})$부분은 진동항, 시간의 영향을 받지 않고 일정한 $2y_{m}\cos \left(\frac{\phi}{2}\right)$ 부분을 진폭항이라 한다. 두 파동의 중첩에서 진폭항을 최대로 만드는 위상차, $\phi=0$일 때 완전 보강간섭, $\phi=\pi$일 때는 $y^{‘}\left(x,t\right)$=0이 되므로 완전 상쇄간섭이라 부른다. [1]
1.2.3 수면파(천해파)의 속력
수면파 (혹은 천해파)는 얕은 수심 조건, 즉 물의 깊이가 파동의 파장보다 매우 작은 조건($\frac{\lambda}{20}≥h$)을 의미하며, 천해파에서의 파동의 속력$v$ 는 다음과 같다고 알려져 있다.
\[v=\sqrt{gh} 단, (g :중력가속도)\tag{6}\]
[그림 1] 천해파에서 수심에 따른 물 입자의 움직임
(식 6)를 통해 파동의 속력이 수심에 의해서만 결정됨을 알 수 있는데, 수면에 있는 입자는 한 주기 동안 원운동하지만, 바닥과 근접한 곳의 물 입자는 파동의 진행방향과 반대방향으로 병진운동하기 때문이다. 또한 파동의 속력과 파장, 진동수의 관계인 $v=f\lambda$ 식에 의해 $\lambda=\frac{\sqrt{gh}}{f}$ 라는 사실도 알 수 있다.
1.2.4 파동의 결맞음과 보강(상쇄)간섭 조건
거리 D만큼 떨어진 두 파원으로부터 각각 $L_{1}$, $L_{2}$만큼 떨어진 점 P에 대해서 P점에서의 간섭, 위상 차는 두 파동의 도달 경로의 차인 경로 차 $|L_{1}-L_{2}|$와 관계가 있다. 즉 경로 차가 파장의 정수 배라면 그 지점에서 보강 간섭, 반 파장의 홀수 배인 경우 상쇄간섭을 일으키게 된다.
\[\begin{aligned} |L_{1}-L_{2}|=n\lambda단, \left(n=0, 1, 2,\cdots \right)(보강간섭) \\ |L_{1}-L_{2}|=\left(n+\frac{1}{2}\right)\lambda 단, (n=0, 1, 2,\cdots )(상쇄간섭)\tag{8} \end{aligned}\tag{7}\]
[3]
[그림 2] 보강 간섭과 상쇄 간섭에 대한 설명
1.2.5 수면파의 회절과 하위헌스의 원리(Huygens’ principle)
[그림 3] 회절하는 수면파, 단일슬릿을 통과하는 광선
회절이란 파동이 좁은 구멍을 통과한 후 진행방향에서 퍼져나가는 방향 쪽으로 돌아가는 현상을 의미한다. [그림 3]에서 회절하는 수면파는 하위헌스의 원리를 통해 해석할 수 있는데, 파동이 통과하는 좁은 구멍을 초기 파면이라고 하면, 파면 위의 임의의 점을 각각의 점파원으로 생각할 수 있고, 그 다음 순간에 점파원들의 집합이 만들어내는 구면파들의 공통 접선이 새로운 파면이 된다는 것을 알 수 있다. 이러한 회절은 빛에 대한 단일 슬릿의 회절과 개념적으로 동일함을 알 수 있는데, 회절의 정도는 매질과 파동의 성질에 따라 달라지는데, 슬릿 너비가 넓고, 파장이 작을수록 회절이 잘 일어나지 않는다. 다르게 표현하자면 파동의 직진성이 강하다.
2. 실험 내용
2.1 실험 장비
수조, 수면파 발생 장치, Tracker 분석을 위한 컴퓨터, 촬영용 카메라, 파동발생장치, 점파원용 작은 플라스틱 구슬, 스트로보스코프, 장애물 용 길이가 다른 아크릴 막대, 물 그릇
2.2 실험 방법
2.2.1 간섭 무늬 관찰 및 수면파 속력 측정
수조에 적당히 물을 채우고 수면파 발생 장치를 설치한다. 수조의 옆면은 반사파가 생기지 않도록 수평으로 놓고 스펀지로 수면파 흡수대를 설치한다. 이후 수면파 발생장치의 주파수를 12~18Hz로 조절한다. 스트로보스코프의 경우 RPM 단위이므로 수면파 발생장치의 주파수에 60을 곱한 값을 입력하고 작동시키면서 영상을 촬영한 후 이를 Tracker 프로그램을 이용하여 분석한다. 마루 부분이 상대적으로 밝게 나타나므로, 밝은 두 무늬가 합쳐져 가장 밝은 부분이 상대적으로 잘 드러나므로, 보강 간섭이 가장 잘 드러난 점에 대한 두 점파원으로부터의 경로차를 (식 7, 8)의 공식에 대입하여 수면파의 속도를 추론해낸다. 또한 주파수를 이용하여 구한 수면파의 속도의 이론값을 알아내고 이를 비교하였을 때 오차가 발생한다면 이에 대해서도 고찰한다.
2.2.2 장애물 하에서 파동의 진행 분석
2.2.1과 동일하게 실험장치를 설정한 후 주파수를14Hz로 고정하고 짧은 장애물과 긴 장애물을 고정시켜 장애물에 의한 간섭과 회절에 의한 효과를 2.2.1와 같은 정량적인 방법을 통해 분석한다. 이 때 짧은 장애물의 가로 길이는 4.9cm, 긴 장애물의 가로 길이는 6.9cm이다.
2.2.3 슬릿을 통과하는 파동의 회절 분석
2.2.1과 동일하게 실험장치를 설정한 후 주파수를14Hz로 고정하고 짧은 장애물과 긴 장애물을 고정시켜 장애물에 의한 간섭과 회절에 의한 효과를 2.2.1와 같은 정량적인 방법을 통해 분석한다. 이 때 짧은 장애물의 가로 길이는 4.9cm, 긴 장애물의 가로 길이는 6.9cm이다.
3. 실험 결과 및 분석
3.1.1 간섭 무늬 관찰 및 수면파 속력 측정
총 12, 14, 18Hz의 주파수 발생기 실험영상으로부터 각각 2개씩 가장 선명한 trial을 뽑아 이 때의 보강간섭이 일어난 지점의 경로차를 구하였다.
[그림 4] 12Hz 상황에서 보강간섭 지점 경로차 측정(trial 1)
[그림 5] 12Hz 상황에서 보강간섭 지점 경로차 측정(trial 2)
[그림 6] 14Hz 상황에서 보강간섭 지점 경로차 측정(trial 1)
[그림 7] 14Hz 상황에서 보강간섭 지점 경로차 측정(trial 2)
[그림 8] 16Hz 상황에서 보강간섭 지점 경로차 측정(trial 1)
[그림 9] 16Hz 상황에서 보강간섭 지점 경로차 측정(trial 2)
| 주파수$f$ [Hz] | $\ | L_{1}-L_{2}\ | $ [m] | $n$ | ||
|---|---|---|---|---|
| 추정값 | ||||
| 12Hz | 0.01831 | 2 | 0.01875 | 0.2250 |
| 12Hz | 0.03836 | 4 | 0.01875 | 0.2250 |
| 14Hz | 0.01445 | 2 | 0.01428 | 0.2000 |
| 14Hz | 0.02823 | 4 | 0.01428 | 0.2000 |
| 18Hz | 0.01235 | 2 | 0.01267 | 0.2281 |
| 18Hz | 0.02597 | 4 | 0.01267 | 0.2281 |
undefined [표 1] 주파수 별 경로 차와 추정된 파장
[표 1]에서 n의 추정값의 경우 두 점파원의 수직이등분선과 가장 가까운 보강간섭 지점으로부터 몇 파장만큼 떨어져 있는지를 통해 추정 가능하며, 각 주파수 별로 각각 다른 n추정값이 되도록 보강간섭 지점을 선택하였다. 이후 두 가지 경우에서 추정된 $\lambda$값에 평균을 내어 각 주파수에 대한 파동의 파장 추정값을 도출하였으며, 이를 주파수와 곱하여 파동 속도의 추정 값을 도출하였다. 파동의 속도 추정값의 평균값은 0.2177m/s로 주파수에 상관없이 근사적으로 일정하다는 사실을 알 수 있다. 이를 통해 이론적 배경에서 보았던 천해파의 속도는 파장과 관련이 없다는 사실을 입증할 수 있었다. 물의 깊이 h가 주어지지 않아 [표 1]을 통해 구한 v의 추정값이 실제와 동일한 지는 알 수 없지만, 서로 다른 주파수 하에서 파동의 속도가 일정하다는 것은 실험에서 경로차를 높은 정확도로 구했다는 사실로 받아들일 수 있다. 14Hz의 경우는 12Hz, 18Hz에서의 속도 추정값 22.65cm/s보다는 작은 20cm/s라는 속도 추정값이 도출되었는데, 이후에 다룰 오차에서 분석하기로 한다.
3.1.2 장애물 하에서 파동의 진행 분석
긴 장애물(6.9cm)와 짧은 장애물(4.9cm)을 두 점파원 과 대칭이 되게 배치하였을 때 만들어지는 파동의 모습은 다음과 같다.
[그림 10]4.9cm 장애물을 통과하는 파동의 분석
[그림 11] 4.9cm 장애물을 통과하는 파동의 분석
분석 과정에서 밝은 무늬와 추세선 등은 육안으로 관찰하고 추정하였기 때문에 다소 부정확할 수 있다. [그림 10, 11]의 초록 선은 각 점 파원의 끝점과 장애물의 끝점을 연결한 것으로, [그림 10]과 [그림 11]에서 공통적으로 실제 파동은 장애물 후방까지 (초록색 선을 넘어) 진행한 것을 알 수 있다. 이를 통해 파동의 회절성에 대해 알 수 있다. 이외에도 아래 [표 2]는 [그림 10, 11]를 정량적으로 분석하여 정리한 결과이다.
| 장애물 길이 | ||||
|---|---|---|---|---|
| [cm] | $d_{1}$ [cm] | $\theta$ [degree] | n | $\lambda$ [cm] |
| 4.9 | 1.789 | 68.4 | 5 | 1.440 |
| 6.9 | 2.855 | 42.1 | 4 | 1.466 |
undefined [표 2] 장애물 길이에 따른 물리량들의 차이 비교
$d_{1}$ : 장애물 뒤의 첫 밝은무늬로부터 장애물까지의 거리
$\theta$ : 장애물 뒤에서 두 파가 처음 겹치는 점을 기준으로 장애물의 두 끝점이 이루는 각
n : 장애물 뒤부터 수조의 끝까지 관찰되는 밝은 무늬의 개수
장애물 뒤의 첫 밝은무늬로부터 장애물까지의 거리는 장애물 길이가 짧을수록 짧았다. 또한 파동의 진행이 육안으로 관측되는 각도 또한 장애물의 길이가 짧을수록 작았다. 즉 장애물의 길이가 짧을수록 더 앞쪽에서 두 파가 처음 만나기 시작하며, 이로 인해 고정된 길이(장애물로부터 수조의 벽까지의 길이) 동안 4.9cm 장애물의 경우는 5파장이 관측되었을 때 6.9cm 장애물의 단 4 파장만이 관측되었다. 그러나 두 경우 모두 파장은 0.0144m로 0.01428m의 14Hz에서 측정된 파장과 동일하였다. 즉 장애물 뒤에서 회절하여 중첩한다 하더라도 파장이 보존됨을 실험적으로 증명하였음을 의미한다.
3.1.3 슬릿을 통과하는 파동의 회절 분석
슬릿을 통과하는 파동의 회절의 모습은 아래 [그림 12]과 같으며, 해당 경우는 실험 기구의 구조적 문제로 파원을 동일하게 만들 수 없었으며, 실제 단일 슬릿과 같이 슬릿 통과 이후 스크린을 배치하여 도달하는 파의 세기를 알아볼 수 없으므로, 정성적인 분석으로 부득이하게 대체한다.
[그림 12] 단일 슬릿을 통과하는 수면파의 형상
[그림 12]을 통해 단일 슬릿을 통과하는 수면파가 부채꼴의 형태로 슬릿 뒤로 퍼져나가는 것을 확인할 수 있다. 또한 두 슬릿 사이의 크기 대비 파장이 크기 때문에 이는 1.2.5의 회절이 잘 일어나는 조건에 부합한다. 이로 인해 큰 각도로 회절했다는 결론을 내릴 수 있다. 추가적으로 두 점파원 사이의 길이인 5.3cm를 통하여 슬릿 구멍의 크기가 2.035cm임을 알아내었다.
4. 실험 결론 및 논의
4.1 수면파의 진폭 감소
본 실험에서는 점파원에서 발생되는 두 개의 구면파를 사용하였는데, 구면파가 수면에 퍼지는 과정에서 자연스럽게 수면파가 진행함에 따라 진폭이 감소하게 되는데, 이러한 상황에서 진폭이 감소하는 두 구면파의 간섭을 정확한 상쇄 혹은 보강 간섭이라고 볼 수 없다. 두 점파원으로부터의 거리가 동일한 곳에서 두 수면파의 진폭은 동일하겠지만, 경로차를 통해 파장을 구하기 위해 설정한 점들은 모두 위의 조건을 만족시키지 못한다. 이러한 점을 고려하여 파동의 진폭이 보정되는 식이 아닌, 파동의 진폭이 파원으로부터의 거리의 역수에 비례하는 함수로 놓고 이러한 중첩 식을 접근한다면, 조금 더 정확한 파장을 구할 수 있을 것이다.
\[y\left(P,t\right)=\frac{y_{m}}{r_{1}}\sin \left(kr_{1}-\omega t\right)+ \frac{y_{m}}{r_{2}}sin(kr_{2}-\omega t)\tag{9}\](식 9)와 같이 두 점파원의 거리의 역수에 진폭이 비례하도록 설정한 뒤, 특정 위치 P, 시간 t일 때 상쇄간섭을 일으킬 조건은 (식 9)=0이므로, 해당 방정식을 만족시키는 k값이 각각의 파동에 대한 주파수를 알려줄 수 있게 된다.
4.2 광원 위치의 비대칭성
우리가 실험을 통해 관찰한 밝은 무늬와 어두운 무늬는 파동의 보강과 상쇄간섭에 의해 원래의 수면보다 더 높이 올라가거나 아래로 내려가 더 밝거나 어둡게 보이게 되면서 만들어지는 무늬이다. 그러나 모든 실험에서 광원 위치는 점파원으로부터 바로 위가 아닌, 우측 상단으로부터 빛이 내려오는 것을 확인할 수 있다. 이로 인해 단순히 수면보다 높이 올라온 곳이 밝고, 그렇지 않은 것이 어두운 것이 아니라, 밝고 어두운 무늬가 비대칭적으로 반복된다는 사실을 알 수 있다.
[그림 13] 광원의 각도에 따른 파동 무늬 개념도
[그림 13]과 같이 빛이 비춰지는 방향이 수면과 연직이 아닌 상태에서 수면의 연직위에서 촬영하게 된다면 밝은 무늬와 어두운 무늬가 비대칭적으로 나타나게 되고, 자연스럽게 밝은 무늬를 통해 보강간섭 지점을 결정하게 되는 실험에 오차요인으로 작용하게 된다. 이러한 오차를 줄이려면 광원의 역할을 하는 스트로보스코프를 카메라에 최대한 가까이 위치시키거나 카메라의 플래시를 주기적으로 터트려 스트로보스코프의 역할을 하게 하여 관찰하고자 하는 수면 부분의 연직 위에 광원이 위치하도록 하면 될 것이다.
4.3 Tracker를 통한 간섭 지점 선정의 부정확성
촬영된 영상을 Tracker로 분석하면서 보강 간섭무늬를 포착하는 과정에서 정확한 간섭지점을 찾는 데 오차가 가중된다. 이러한 오차는 해당 실험을 수행함에 있어서 고질적인 문제로, 이러한 오차요인을 개선하기 위해서는, 간섭무늬를 육안으로 보고 판정하는 것이 아니라, 레이저와 같이 수면의 높이를 스캔할 수 있는 장비를 사용하여 수면의 높이를 측정하고, 높이의 최고(혹은 최저) 점을 보강 간섭 지점으로 설정한다면 오차를 크게 줄일 수 있을 것으로 보인다.
5. 결론
본 실험을 통해 파동, 그 중에서도 수면파의 간섭과 회절에 초점을 두어 이를 정성, 정량적인 방법으로 분석하고, 파동의 속력을 추론할 수 있었다.
먼저 위상차가 0인 두 점파원에 의해 발생되는수면파를 서로 다른 주파수(12, 14, 18Hz)를 이용하여 간섭 무늬를 관찰하고, 그 중에서 관찰하기 쉬운 보강간섭(마루+마루) 부분을 각 case별 2개씩 선정하여 경로차가 파장의 정수배임을 이용하여 파장을 추론하였다. 각 주파수 별 추론한 결과가 모든 주파수에서 거의 일정한 파동의 속력을 얻어낼 수 있었다. 이는 이론적 배경의 1.2.3에서 동일한 깊이의 물을 통해 전달되는 수면파의 파동의 속도는 주파수 혹은 파장과는 관계가 없다는 사실을 재확인시켜주는 결과이기도 하다.
두 번째 실험에서는 서로 다른 길이의 장애물을 두 점파원으로부터 대칭되는 위치에 놓고, 장애물 뒤에서의 파동의 형태를 살펴보았다. 장애물의 가로 길이가 짧을수록 장애물로부터 더 짧은 거리에서 파동이 다시 만나기 시작함을 알 수 있으며, 장애물의 크기에 관계없이 파장은 일정하게 유지됨을 알 수 있었다. 이러한 결과는 파동이 한번 회절된 이후에도 파장이 변하지 않는다는 결과로도 볼 수 있다.
마지막 실험에서는 슬릿 사이를 통과하는 수면파를 관찰하였는데, Tracker의 막대자 기능을 활용하여 슬릿 구멍의 길이가 2.035cm임을 알 수 있었으며, 파동의 파장의 길이가 슬릿 구멍 대비 충분히 크기 때문에 회절이 잘 일어날 것을 예측하였고, 실험을 통해 실제로 파동이 부채꼴로 넓게 퍼져나간다는 사실을 알 수 있었다. 즉 파동의 회절에 대한 정성적인 증명을 할 수 있었다.
오차 요인으로는 거리에 따라 줄어드는 파동의 진폭과 광원의 위치가 수면과 연직이 아님에 따라 발생하는 오차, 정확한 상쇄, 보강간섭 지점을 특정할 수 없기에 발생하는 실험 자체의 구조적 오차를 지목하였으며, 각각의 오차에 대한 해결방법 또한 탐구하였다.
6. 참고 문헌
[1] 증명 - Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014) (Korean ver.)
2 사진 출처 : 「천해파의 속력」,『소방방재청』, https://www.khu.ac.kr/userfiles/file/5th(1).pdf,
(접속일 21.05.23.)
[3] 사진 출처 : Halliday Resnick Walker, Fundamentals of physics, 10th edition, Wiley, New York(2014) (Korean ver.)