1. 서론

1.1 실험 목적

본 실험은 DC 전원장치를 통해 열량계에 일정한 열을 공급하여 시간에 따라 열량계 속 물의 온도 변화의 양상을 살펴보는 실험이다. 이를 통해 열량계의 열용량을 구하고, 열량계에 들어가는 물의 부피, 추의 투입 여부, Stirring bar와 같은 여러 상황에서 시간의 따른 온도 변화 양상이 어떻게 나타나는지 확인한다. 추가적으로 추 실험의 경우 추의 비열 또한 구해본다. 이를 통해 고립계에서의 총 에너지 보존법칙의 성립 여부를 확인하고, 열의 공급에 따라 내부에너지가 어떻게 변화하는지를 정량적 방법으로 고찰할 것이다.

1.2 이론적 배경

1.2.1 계, 내부 에너지와 열, 일의 관계 [1]

계(System)이란, 우리가 관찰하고자 하는, 즉 관심을 가지고자 하는 대상을 일컫는 말로 물질, 에너지, 열을 포괄하는 공간을 의미한다. 계(System) 바깥과 물질, 에너지의 이동 가능 여부에 따라 계를 분류하며, 에너지와 물질이 모두 출입 가능하면 열린 계, 에너지만 출입 가능하면 닫힌 계, 모두 출입할 수 없으면 고립 계라는 용어를 사용한다.

어떠한 계에서 계의 내부 에너지 변화량을 $dU$라고 하고, 계가 흡수한 열량을 $dQ$, 계가 한 일을 $dW$라 할 때 다음과 같은 식이 성립한다.

\[dQ=dU+dW\tag{1}\]

(식 1)을 정성적으로 설명하면, 계에 가해진 열이 일과 내부에너지의 형태로 저장된다는 것을 의미한다. 이 계를 고립계(isolated system)이라 한다면, 외부에서 열이나 일의 유입이 없다는 것을 의미하므로 ($dQ, dU=0$), 계의 내부에너지는 항상 일정한 값을 유지하게 된다. 이를 에너지 보존 법칙, 혹은 열역학 제 1법칙이라고 부른다.

1.2.2 전기 에너지의 일률

전압이 V(volt), 전류가 I(ampere)인 직류 전원에서 저항 R의 저항체에 발생하는 열 에너지는 다음과 같다.

\[P=VI\tag{2}\]

이러한 열 에너지를 줄(Joule) 열이라고 한다.

[그림 1] 줄 열에 의해 열과 빛을 방출하는 퓨즈 2

실제로 저항에 전류가 흐르면서 전자들이 저항체 분자들과 충돌하여 전류의 흐름을 방해하게 되고, 이로 인해 저항체의 고체 분자들도 움직이게 되면서 열을 발생시키게 되는 것이다.

1.2.3 비열과 열용량, 열의 일당량

비열이란, 단위 질량의 물질을 1K 높이는데 드는 열 에너지를 말한다. 어떠한 물질의 온도를 올리기 위해 열에너지를 가할 때 질량이 클수록 온도 변화율이 작을 것이고, 열에너지를 많이 가할수록 온도가 크게 변할 것이라는 사실은 자명하다. 이 때 비열 c는 이러한 관계에서의 비례상수를 의미하며, 물질 고유의 특성 값이다. 비열은 물질의 현재 온도에 따라 변하기도 하지만 물의 경우는 그 변화 량이 매우 미미하므로 상수 취급할 수 있다. 또한 열용량이란, 질량이 고정된 어떤 물체의 온도를 1도 올리기 위해 필요한 에너지를 의미하며, 질량 m을 고려한 비열에 해당하는 물리량이다. 이 때 열용량의 단위는 $[\frac{J}{K}]$ 이며, 비열과 구분하기 위해 대문자 C로 표기한다.

\[Q=cm\Delta T=C\Delta T, c:[\frac{J}{kg\cdot K}]\tag{3}\]

1칼로리(1cal)는 섭씨 14.5도의 물 1g을 1K만큼 올리는 데 필요한 열량으로, 정의에 따라 물의 비열은 1 $[\frac{cal}{g\cdot K}]$ 이다. 이를 칼로리의 정의에 따라 단위를 변환해 주면, 4.184$[frac{J}{gcdot K}]$로 변환됨을 알 수 있다.

1.2.4 전원장치로부터 열량계가 받는 열

열량계와 그 내부를 에너지와 물질이 출입하지 않는 고립계로 가정하자(단, 오직 DC 전원장치로부터 열이 공급될 수 있다.) 이 때 열량계의 부피 변화가 없으므로 열량계가 한 일 dW는 0이 되며, (식 1)에 따라 전원장치에서 가한 열은 모두 내부에너지로 전환된다. 이 때의 조건을 대입하여 (식 1)과 (식 3)을 연립하고, 양변을 시간에 대해 미분해주면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

\[\frac{dT}{dt}=\frac{P}{cm+C} [Ks^{-1}]\tag{4}\]

(식 4)에서 소문자 t는 시간을 의미하며, 대문자 T는 온도를 의미한다. 또한 C는 열량계의 열용량, c와 m은 각각 물의 비열과 질량을 의미한다. 또한 P는 (식 2)로부터 시간에 따른 전기에너지가 저항의 온도를 증가시키는데 사용되었다고 가정하였을 때의 시간당 에너지, 즉 일률이다. 온도 변화율은 가해준 열량에 비례하며, 온도를 올리려는 물질의 질량과 비열에 반비례한다.

1.2.5 열 손실에 대한 보정

1.2.4의 가정에서 열량계와 그 내부를 고립 계로 가정하였다. 그러나 실제로 열량계를 통해 열이 출입할 수 있으며, 열량계와 그 내부의 온도가 주변온도보다 높으면 열평형을 이루기 위해 열이 열량계 밖으로 빠져나간다. 이는 복사나 열전쌍(thermocouple)의 형태로 나타나게 된다. DC 전원장치를 비롯한 외부에서의 열공급이 없는 상태에서 외부와 열량계에 온도차이가 존재할 때 열량계 내부의 온도 감소율을 $\frac{dT’}{dt}$이라 하면 단위시간당 빠져나가는 열 $P’$ 아래 (식 5)와 같다.

\[\frac{dT'}{dt}=\frac{P'}{cm+C}\tag{5}\]

열량계의 열용량, 액체의 비열, 물의 질량이나 DC 전원 공급장치를 통한 열의 투입 여부와 관계없이 시간당 열손실 P’이 일정하다는 가정하에, 열 손실률을 반영한 시간당 온도변화 식은 (식 6)과 같다.

\[\frac{dT}{dt}=\frac{P-P'}{cm+C}\tag{6}\]

1.2.6 미지의 비열(열용량) 물체의 비열 추론

미지의 비열(혹은 열용량)인 물체의 비열을 실험장치를 통해 알아내는 방법은 다음과 같다. 앞선 조건과 동일하다는 전제 하에 미지의 비열 (c’), 질량 M (혹은 미지의 열용량 C’’)인 물체를 열량계 속 물에 넣어 실험을 진행하면, 미지의 비열인 물체의 온도를 추가로 증가시키는데 열이 사용되므로, (식 6)을 아래 (식 7)과 같이 표현할 수 있다.

\[\frac{dT''}{dt}=\frac{P-P'}{cm+C''+C} (C^{''}=c^{'}M)\tag{7}\]

미지의 비열 물체를 넣지 않은 채로 실험하여 P-P’, cm+C를 알아내고, 물체를 투입하고 실험하여 달라진 온도 변화율과 위에서 구한 물리량을 통해 c’을 알아낼 수 있다.

2. 실험 내용

2.1 실험 장비

디지털 온도계 1대, 매스 실린더 1개, DC 전원 장치 1대, 열량계 장치(단열 실린더, starring bar, coil heater) 1대, 연결 전선 2가닥

2.2 실험 방법

2.2.1 열량계의 열용량 측정

열량계의 뚜껑을 돌려 열고, 매스 실린더로 500mL의 물을 붓는다. 이후 열량계의 뚜껑을 닫아 단열이 되도록 한다. 디지털 온도계를 열량계에 장착하고 작동시킨다. DC 전원 장치의 전원을 켜고 0V, 0A로 조절한 뒤 전압을 조절한다. C.C 최댓값을 설정하고, 일정한 전류와 전압을 공급하여 열을 가한다. 이후 일정한 시간 간격으로 Stirring bar를 돌리는 버튼을 눌러 열이 고르게 퍼지도록 한다. 이를 각각 다른 부피(550mL, 600mL)의 물에 대해 반복 실험하여 시간에 따른 온도 변화 그래프를 도출한다. 이후 3가지 부피에서의 실험결과를 통해 각각의 실험으로부터 열용량을 구하고, 이를 평균하여 열량계의 열용량의 실험값을 도출한다.

2.2.2 미지의 물체의 비열 추정

2.2.1과 동일하게 실험을 진행하되, 질량이 50g인 추를 넣고 실험을 진행한다. 추를 넣지 않은 경우의 온도 변화율과의 비교를 통해 1.2.6.에서 설명한 것과 같이 물체의 비열 값을 추론해 본다.

2.2.3 Stirring bar에 의한 온도상승률 분석

이론적 배경의 1.2.4에서 DC 전원 장치로부터의 열 공급과 열 손실을 제외하고 계 외부로부터의 열의 출입은 없다고 가정하였다. 그러나 실제로 Stirring bar를 젓게 되면, bar의 역학적 에너지가 물의 온도를 높이는 데 사용될 수 있으므로 Stirring bar의 회전으로 인한 온도 상승률도 고려함이 타당하다. DC 전원장치에서 열을 공급하지 않고 Stirring bar를 계속 저었을 때 열량계 내부의 온도를 측정하고 시간에 따른 온도 변화율을 구해 이를 고려함이 타당한지 분석한다.

3. 실험 결과 및 분석

3.1.1 열량계의 열용량 측정

[그림 2] 서로 다른 부피의 물에 대한 Temp-time graph

| 물 부피 [mL] | 추정된 기울기 T = at+b에서 a [K/s] | 공급된 일률 [J/s] | 각 실험 별 열용량 [J/K] | | ——— | ————————– | ———— | —————- | | 500 | 0.01866 | 42.429 | 181.794 | | 550 | 0.01713 | 42.168 | 160.446 | | 600 | 0.01558 | 41.5 | 153.271 |

undefined [표 1] 실험 3.1.1의 실험 결과의 해석에 대한 표

[표 1]의 각 실험별 열용량은 물 부피와 단위시간당 온도변화율, 공급된 일률 데이터를 (식 4)에 대입하여 얻어낸 결과로, 다음 식을 통해 도출된 값이다.

\[C=-cm+\frac{P}{(\frac{dT}{dt})}\tag{8}\]

이 때 물의 비열 $c=4.184 J/g ℃$ 를 이용하였다. 물 부피가 커짐에 따라 각 실험별 열용량이 감소하는 추세를 보였으며, 이는 특정 요인의 오차가 작용한 결과로 보인다. 한편, 각 실험 별 열용량의 평균값은 165.170(J/K)이며, 이를 열량계의 열용량의 추정치라고 한다.

3.1.2 미지의 물체의 비열 추정

[그림 3] 물 500mL와 50g 추 상황의 Temp-time graph

[그림 3]를 보면, 실험 3.1.1과 동일하게 선형적으로 시간이 지남에 따라 온도가 변함을 알 수 있다. [그림 2]를 일차 식에 회귀시킨 결과는 다음 (식 9)와 같다.

\[\begin{aligned} T=\bar{\alpha}+\bar{\beta}t \\ \bar{\beta}=0.01777, \bar{\alpha}=23.8015 \end{aligned}\tag{9}\]

기울기인 0.1777을 실험 3.1.2에서 공급된 평균 일률 42.10 J/s와 (식 8)에서 구한 열량계의 열용량을 이용하여 (식 7)에 대입한 결과는 다음과 같다.

\[\begin{aligned} \frac{dT^{''}}{dt}=\frac{P}{cm+c^{'}M+C} \\ c^{'}=2.2398 [J/g\cdot K] \end{aligned}\tag{10}\]

3.1.3 Stirring bar에 의한 온도상승률 분석

[그림 4] stirring bar로 저었을 때 Temp-time graph

[그림 4]를 일차 식에 회귀시킨 결과는 다음 (식 11)와 같다.

\[\begin{aligned} T=\bar{\alpha}+\bar{\beta}t \\ \bar{\beta}=0.000545, \bar{\alpha}=23.693 \end{aligned}\tag{11}\]

stirring bar를 지속적으로 저었을 때 시간에 따른 온도 변화 그래프는 [그림 4]과 같으며, 이를 선형회귀한 식의 기울기 또한 양수가 도출되긴 하였지만, 기울기가$10^{-5}$scale로 Stirring bar에 의한 온도 증가 효과는 DC 전원 장치의 열 공급으로 인한 온도 증가 효과에 비해 극도로 작다. 즉 앞서 측정한 3.1.1, 3.1.2의 열량계의 열용량, 추의 비열 측정 실험에서 Stirring bar의 에너지 공급에 의한 오차 요인은 고려할 필요가 없다고 보아도 무방하다.

4. 오차 분석 및 논의

4.1 열의 유출 미고려

이론적 배경의 1.2.5.에 따라 주위와의 온도 차이에 의한 열 손실률을 고려해야지만, 실제로 출입하는 열의 양과 그 손실률을 보다 정확하게 확인할 수 있다. 그러나 실험 데이터 상에서 열의 유출에 의한 손실률을 계산할 수 있는 데이터가 존재하지 않았으며, 이로 인해 P’에 해당하는, 시간당 열 손실량을 정확히 측정할 수 없었다. 이러한 열의 유출 미고려로 인해 예상되는 오차로는 [표 1]에서 열량계 내부 물의 부피가 커질수록 추론된 열량계의 열용량이 더 작아지는 효과를 확인할 수 있는데, 열량계 내부에 물이 더 많이 들어간다는 것은, 물과 열량계와의 접촉면적의 증대를 의미하며, 이는 더 높은 열 손실률, 즉 접촉 표면적이 넓어짐에 따라 열 손실률이 증가함을 의미한다. 이러한 결과로 인해 시간에 따른 온도 변화가 완전한 고립계, 즉 완전한 단열을 상정했을 때의 결과보다 작게 도출되었을 수 있으며, 이로 인해 물의 부피가 증가함에 따라 열용량의 실험값이 더 작게 추론되었음을 예측할 수 있다.

또한, 실제로 시간에 따른 열 손실량, 즉 P’의 값은 현재온도 T’에 대해서 일정하지 않다.

[그림 5] 저온부와 고온부의 접촉시의 Temp-time graph

열평형에서, 저온부와 고온부가 접촉하여 열을 교환할 때 두 접촉부의 온도차와 시간에 따른 온도 변화율, 즉 [그림 5]에서 온도변화의 기울기가 비례함을 알 수 있다. [그림 5]의 경우는 열평형 온도에 두 물체가 도달하는 경우이지만, 이번 실험에서는 열량계 주변의 온도(대기 온도)는 일정하며, 열량계에서 내보내는 열에 의해 온도가 변하지 않는 Heat Source라고 할 수 있다. 이 때의 온도 차는 단순히 열량계의 현재온도에 비례하게 되며, 이 때 기울기가 온도차에 비례하므로, 시간에 대한 열 손실량 즉 P’(t) 또한 시간에 대해 지수함수 꼴로 나타날 것을 추론할 수 있다.

4.2 DC 전원 공급장치에서의 손실

DC 전원 공급장치에서의 일률 P 는 전원장치에서 공급한 전압(Volt)와 전류(Ampere)를 곱한 값을 대입하여 사용하였다. 그러나 실제로 DC 전원 공급장치에서 공급한 전압이 전부 열량계의 코일에서 전압강하가 일어났다고 볼 수 없다. DC 전원 공급 장치 내부의 저항, 도선의 저항 등으로 인해 여러 가지 부차적인 전압 강하가 일어나게 되며, 이에 따라 대입한 P 값보다 실제로 더 적은 일률이 공급되었음을 추론할 수 있다. 즉 이번 실험에서 구한 열량계의 열용량 C’와 추의 비열 c’을 모두 실제 참값보다 크게 만드는 요인이며, 이로 인한 손실량의 보정식은 다음과 같다.

\[P^{'}=P-I^{2}R\tag{12}\]

(식 12)에서의 R 값은 DC 전원 내부 저항 및 도선저항을 모두 합한 값이며, R 값을 정확하게 계산하기 어려우므로, 더 정확하게 P값을 얻어내기 위해서는 열량계에서 전원 공급부의 (+) 극과 (-) 극 사이에 전압을 전압계로 측정한 다음, 이를 V 값으로 사용해야 한다.

4.3 디지털 온도계의 유효숫자로 인한 오차

[그림 2~3]을 살펴보면, 데이터를 표시하는 점이 추세선을 기점으로 상하로 요동치는 것을 볼 수 있다. 이는 디지털 온도계의 유효숫자가 0.1도까지이기 때문에 나타나는 현상이다. 예를 들어 1분당 증가하는 온도가 1.07도이고, 초기 온도가 20도라고 한다면, 1분 후 온도의 참값은 21.07도임에도 반올림된 21.1도라고 표시되고, 2분 후 온도의 참값은 22.14도임에도, 반올림된 22.1도라고 표시가 되는 것이다. 온도 증가율의 참값은 1.07도/분 임에도 불구하고 디지털 온도계의 표기 한계로 인해 처음 1분동안의 온도 증가율은 1.11도, 1~2분 동안의 온도 증가율은 1.0도로 측정이 되는 것이다. 이로 인해 온도의 점 데이터가 추정된 회귀 직선 위아래로 요동치는 것처럼 보인다는 것을 추론할 수 있다. 이러한 오차 요인들이 누적되어 높은 잔차의 분산을 이끌어 내게 되며, 이를 개선하기 위해서는 더 정밀한 온도계를 사용하거나, 시간간격을 더 짧게 측정하는 방법으로 불연속적인 측정을 연속에 가깝도록 하는 방법이 있다.

5. 결론

본 실험에서는 에너지의 모습을 살펴봄으로써 전기 에너지가 열에너지로 변환되는 과정을 실험을 통해 탐구하였으며, 그 과정 속에서 열량계와 열량계 내부 라는 고립계 속에서 역학적 에너지와 내부 에너지의 총 합인 총 에너지가 근사적으로 보존됨을 알 수 있었다. 이러한 가정사항들을 적용하여 서로 다른 부피의 물을 열량계에 투입하고 실험을 반복하여 열량계의 열용량 추정값 165.170[J/K]를 얻어냈으며, 미지 비열의 추를 열량계에 넣고 실험을 반복하여 추의 비열 $c^{‘}=2.2398 [J/g\cdot K]$을 얻어내었다. 열량계의 열용량이나, 추를 이루고 있는 물질에 대한 정보가 미비하여 실제 참값과의 비교를 통한 고찰은 수행하지 못하였지만, 실험 과정에서 발견한 오차 요인을 대략 세가지 정도로 구분하여 이를 정성, 정량적 방법으로 설명하였다.

먼저 열량계가 완벽한 고립 계가 아니라는 점에서 출발하여 열 손실을 미고려 한 점이 오차를 가중시켰다는 주장과, 실제로 열 손실은 일정한 상수 형태가 아닌 현재 온도 T에 대한 지수함수 꼴로 나타날 것이라는 추론을 하였으며, 이를 일반적인 열 평형에서의 예를 통해 정성적으로 설명하였다.

또한 DC 전원 공급 장치에서 표시되는 전류와 전압은 실제로 열량계로 공급되는 물리량과 다를 것이라는 가정을 하고, DC 전원 공급 장치의 내부 저항과 도선의 저항을 고려하였을 때 일률 P가 실제 공급되는 값보다 더 크게 측정되었을 것이라고 판단하였다.

마지막으로, 시간에 따른 온도의 변화를 시각적으로 도시하였을 때 관찰할 수 있었던 요소인 ‘실험 데이터가 추세선 상하로 요동치는 현상’ 을 상대적으로 부정확한 디지털 온도계 라는 요인과 결부시켜 이를 정량적인 예시를 들어 설명하였다. 이렇게 설명한 세 가지 오차 요인 각각에 대해 납득할 수 있는 오차 개선 방안과 제언을 통하여 오차를 줄이고 실험 데이터를 개선할 수 있는 방안을 제시하였다.

6. 참고 문헌

[1] 증명 : Principles of Modern Chemistry / Campion, Alan, 7th edition, David W. Oxtoby , H. P. Gillis , Alan Campion, (Korean ver.) p.531

2 사진 출처 - https://wiki-ext.aps.anl.gov/ug11bm/ index.php/Resistive_Heating_Furnace

7. 부록

[그림 6] 단순선형회귀 모형을 적용하기 위한 파이썬 코드

[그림 7] 이번 실험, “시지프스의 고민 실험”, “파동” 실험 등에서 사용한 데이터 시각화, 에너지, 파장 계산 코드

[그림 8] 이번 실험을 비롯한 “용수철 흔들이”, “자이로스코프” 실험에서 선형회귀를 위해 사용한 파이썬 코드